\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 1 - Logique, quantificateurs, ensembles}
\end{center}
\bigskip

\subsection*{Éléments de logique et langage mathématique}

\textit{Un ingénieur, un physicien et un logicien sont dans un train en
Écosse. Ils voient un mouton noir sur le bord de la route. « Les
moutons écossais semblent être noirs. » dit l’ingénieur.
« Non, il est plus correct de dire qu’au moins un mouton écossais
est noir. » corrige le physicien.
« Non, il est plus correct de dire qu’il a existé à un instant donné en Écosse au moins
un mouton dont l’un des côtés au moins est noir ! » dit le logicien...}

\exo[(Question de cours)]


\begin{enumerate}
 \item Soient $P$ et $Q$ deux assertions. Rappeler la définition des assertions $\neg P$, $P$ et $Q$, $P$ ou $Q$, $P \Rightarrow Q$, et $P \Leftrightarrow Q$.
 \item Écrire la négation des assertions précédentes.
 \item Démontrer le principe de contraposition.
\end{enumerate}



\exo

Considérons l'énoncé suivant : ``Il faut être majeur pour voter''.

\begin{enumerate}
 \item L'énoncer avec le signe $\Rightarrow$, puis écrire sa contraposée.
 \item Les raisonnements suivants sont-ils corrects ?
  \begin{enumerate}
   \item Paul a voté, donc Paul est majeur.
   \item Pierre n'a pas voté, donc Pierre n'est pas majeur.
   \item Carole est majeure, donc Carole a voté.
  \end{enumerate}
  
\end{enumerate}


\exo

On considère la proposition suivante
\begin{align*}
 P(x,y) : x \ \textrm{est la fille de} \ y.
\end{align*}
Traduire en termes mathématiques les phrases suivantes :
\begin{enumerate}
 \item Toute femme a une mère.
 \item Toute femme a au moins deux filles.
 \item Il existe une femme qui est la mère de toutes les autres femmes.
\end{enumerate}



\exo


Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Sinon, énoncer leur négation.
\begin{enumerate}
 \item $\exists x \in \Nset, x^2>5$.
 \item $\forall x \in \Nset, x^2>5$.
 \item $\forall x \in \Nset, \exists y \in \Nset, y > x^2$.
 \item $\exists y \in \Nset, \forall x \in \Nset, y > x^2$.
 \item $\exists x \in \Nset, \forall y \in \Nset, y > x^2$.
 \item $\forall y \in \Nset, \exists x \in \Nset, y > x^2$.
\end{enumerate}


\exo


\begin{enumerate}
 \item Écrire en français les propositions
 \begin{align*}
 P1 : (\exists x, \forall y, A(x,y)) \quad \textrm{et} \quad P2 : (\forall y, \exists x, A(x,y)).
\end{align*}
 \item L'une de ces propositions implique-t-elle la seconde ? Ces deux propositions sont-elles équivalentes ? Qu'en concluez-vous sur le changement de l'ordre des quantificateurs dans une proposition ?
\end{enumerate}



\subsection*{Ensembles et applications}


\exo


Associer à chaque élément de la liste A un élément de la liste B.

\medskip
Liste A:
\begin{enumerate}[(a)]
\item ensemble des entiers naturels impairs
\item ensemble des entiers relatifs pairs
\item $\{-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$
\item $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
\item ensemble des nombres rationnels
\end{enumerate}

\smallskip
Liste B:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\{x\in\Nset \,|\, x^2\leq 101\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,x^2\leq 122\text{ et }x\in\Zset\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,\exists k\in\Nset,x=2k+1\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,\exists p\in\Zset, x=2p\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,x^2-2x+1\geq 0\text{ et }x\in\Qset\}$ 
\end{enumerate}


\exo


Généralement, pour démontrer que deux ensembles $F$ et $G$ sont égaux, on montre que $F \subset G$ et que $G \subset F$. Soient $A$, $B$, et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Montrer les formules suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
 \item $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
 \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
 \item $A \cap B = A \Leftrightarrow A \subset B $.
 \item $A \cup B = B \Leftrightarrow A \subset B $.
\end{enumerate}


\exo

Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f : E \rightarrow F$ une application. Démontrer les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $\forall A,B \subset E, A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset E, f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset E, f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset F, f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.
 \item $\forall A \subset E, A \subset f^{-1}(f(A))$.
 \item $\forall A \subset F,  f(f^{-1}(A)) \subset A$.
\end{enumerate}



\exo

Soient $f : A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$ deux applications. Démontrer les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $g \circ f$ est injective $\Rightarrow$ $f$ est injective.
 \item $g \circ f$ est surjective $\Rightarrow$ $g$ est surjective.
\end{enumerate}
Montrer par des exemples que les réciproques sont fausses.


\exo

Soit $f : X \rightarrow Y$ une application. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
 \item $f$ est injective.
 \item $\forall A, B \subset X$, $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.
 \item $\forall A, B \subset X$, $A \cap B = \emptyset \Rightarrow f(A) \cap f(B) = \emptyset$.
\end{enumerate}


\exo

Montrer que pour tout $n \in \Nset^{\star}$ :
\begin{enumerate}
 \item $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
 \item La somme des n premiers nombres impairs est égale à $n^2$.
\end{enumerate}



\exo

\begin{enumerate}
 \item Soit $f : \Nset \rightarrow \Nset$ une application strictement croissante. Montrer que $f(n) \geq n$ pour tout entier $n \in \Nset$.
 \item  Que dire lorque $f$ est surjective ?
\end{enumerate}







\end{document}
