\documentclass[a4paper,10pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage{amsfonts}  
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{bbold}
\usepackage{caption}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}

\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 1 - Logique, quantificateurs, ensembles}
\end{center}
\bigskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/

\subsection*{Connecteurs logiques et tables de vérité}

Dans toute cette feuille, on note $P$, $Q$ ou $R$ des \textbf{propositions mathématiques}, c'est-à-dire des énoncés susceptibles d'être vrais ou faux.
Par définition, la proposition 
$$
(P \mbox{ et } Q)
$$
 est vraie si, et seulement si, $P$ et $Q$ sont vraies simultanément. On résume ceci dans le tableau suivant, appelé \textbf{table de vérité} (où V et F signifient vrai et faux) :
\bigskip 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{P} & \textbf{Q} & \textbf{(P  et Q)} \\ \hline \hline
V & V & V \\ \hline
V & F & F \\ \hline
F & V & F \\ \hline
F & F & F \\
\hline
\end{tabular} 
\end{center}
\bigskip 
De m\^eme,  la proposition 
$
(P \mbox{ ou } Q)
$
 est vraie si, et seulement si, l'une au moins des deux propositions $P$ et $Q$ est vraie.

\exo

\begin{enumerate}
\item Donner la table de vérité de la proposition $(P \mbox{ ou } Q)$.
\item \emph{Que fait un étudiant en mathématiques lorsque, sur un menu, il voit écrit ``fromage ou dessert'' ?}
%\item \emph{Que r\'epond un \'etudiant en math\'ematiques lorsqu'on lui demande : ``tu rentres ou tu sors ?'' ?}
\end{enumerate}

\exo

\begin{enumerate}
\item
Ecrire la table de vérité de la proposition  ``$(P \mbox{ et } Q) \mbox{ ou } R$'', puis celle de 
``$(P \mbox{ ou } R) \mbox{ et } (Q \mbox{ ou } R)$''.
Conclusion ?
\item Ecrire la table de vérité pour la proposition $(\mathrm{non}P)$, appelée négation de $P$.
\item Quelle est la négation de la phrase \emph{``il fait beau et les oiseaux chantent'' ?}
De façon générale, la proposition  $\mathrm{non} (P \mbox{ et } Q)$
 est équivalente à une autre proposition. Laquelle ? 
 \item Le vérifier à l'aide d'une table de vérité.
\end{enumerate}


\exo 


L'affirmation suivante, qui suit des règles de calcul usuelles dans $\Rset$, est vraie : 

\noindent \emph{pour tout nombre réel $x$, si $x=2$, alors $x^2=4$.}

On appelle $P$ l'affirmation ``$x=2$'', et $Q$ l'affirmation ``$x^2=4$''.
\begin{enumerate}
\item Si $P$ est vraie, est-ce que $Q$ est toujours vraie ?
\item Si $P$ est fausse, est-ce que $Q$ est toujours fausse ?
\item Proposer une table de vérité pour la proposition $P\Rightarrow Q$, qui se lit \emph{$P$ implique $Q$}, et qui exprime l'affirmation ``si $P$ est vraie, alors $Q$ est vraie''.
\item On appelle $P$ la proposition \emph{``il fait beau'', et $Q$ la proposition ``j'irai à la plage''.}
L'affirmation ``si il fait beau, alors j'irai à la plage'' exprime-t-elle une implication au sens mathématique ?
%\item (optionnel) V\'erifier que la table de v\'erit\'e de  $P\Rightarrow Q$ est la m\^eme que celle de $(\mathrm{non}P) \mbox{ ou } Q$.
\end{enumerate}


\exo


La proposition $(\mathrm{non} Q) \Rightarrow (\mathrm{non} P)$ s'appelle \textbf{contraposée} de la proposition $P\Rightarrow Q$.
\begin{enumerate}
\item Etablir la table de vérité de $(\mathrm{non} Q) \Rightarrow (\mathrm{non} P)$. Conclusion ?
\item Décomposer sous forme logique la phrase \emph{``Si la programmation me plaît et si le tarif est raisonnable, je vais m'abonner à l'opéra Bastille.''}
On introduira pour ceci trois propositions $P$, $Q$ et $R$.
\item Ecrire la contraposée de la proposition obtenue, et traduire en français cette contraposée.
\end{enumerate}

\exo


\begin{enumerate}
 \item Écrire la table de vérité pour la proposition $(P\Leftrightarrow Q)$, qui exprime l'affirmation ``$P$ est vraie si et seulement si $Q$ est vraie''.
 \item Quelle est la négation de cette affirmation ?
\end{enumerate}

\subsection*{Quantificateurs et éléments de logique}

\textit{Un ingénieur, un physicien et un logicien sont dans un train en
Écosse. Ils voient un mouton noir sur le bord de la route. « Les
moutons écossais semblent être noirs. » dit l’ingénieur.
« Non, il est plus correct de dire qu’au moins un mouton écossais
est noir. » corrige le physicien.
« Non, il est plus correct de dire qu’il a existé à un instant donné en Écosse au moins
un mouton dont l’un des côtés au moins est noir ! » dit le logicien...}








\exo

On considère la proposition suivante
\begin{align*}
 P(x,y) : x \ \textrm{est la fille de} \ y.
\end{align*}
Traduire en termes mathématiques les phrases suivantes :
\begin{enumerate}
 \item Toute femme a une mère.
 \item Toute femme a au moins deux filles.
 \item Il existe une femme qui est la mère de toutes les autres femmes.
\end{enumerate}


\vspace{1cm}

\exo


Les propositions suivantes sont-elles vraies ? Sinon, énoncer leur négation.

\begin{minipage}[t]{.25\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $\exists x \in \Nset, x^2>5$.
\item $\forall x \in \Nset, x^2>5$.
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.35\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
\item $\forall x \in \Nset, \exists y \in \Nset, y > x^2$.
\item $\exists y \in \Nset, \forall x \in \Nset, y > x^2$.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.35\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4} 
\item $\exists x \in \Nset, \forall y \in \Nset, y > x^2$.
\item $\forall y \in \Nset, \exists x \in \Nset, y > x^2$.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}



\exo


\begin{enumerate}
 \item Soit $A$ une assertion. Écrire en français les propositions
 \begin{align*}
 P1 : (\exists x, \forall y, A(x,y)) \quad \textrm{et} \quad P2 : (\forall y, \exists x, A(x,y)).
\end{align*}
 \item L'une de ces propositions implique-t-elle la seconde ? Ces deux propositions sont-elles équivalentes ? Qu'en concluez-vous sur le changement de l'ordre des quantificateurs dans une proposition ?
\end{enumerate}

\exo

Considérons l'énoncé suivant : ``Il faut être majeur pour voter''.

\begin{enumerate}
 \item L'énoncer avec le signe $\Rightarrow$, puis écrire sa contraposée.
 \item Les raisonnements suivants sont-ils corrects ?
  \begin{enumerate}
   \item Paul a voté, donc Paul est majeur.
   \item Pierre n'a pas voté, donc Pierre n'est pas majeur.
   \item Carole est majeure, donc Carole a voté.
  \end{enumerate}
  
\end{enumerate}








\end{document}
