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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD2}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 2 - Nombre réels}
\end{center}
\bigskip


\exo

Etant donné un ensemble $A$, $A \subset \Rset$, écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes:
\begin{enumerate}
\item 10 est un majorant et 5 est un minorant de $A$.
\item A est majoré.
\item A n'est pas minoré.
\item A est borné.
\item A n'est pas borné.
\end{enumerate}


\exo


Dire pour chacun des sous-ensembles suivants de $\Rset$ s'il est majoré, minoré. Déterminer (lorsqu'elle existe) leur borne
supérieure (resp. inférieure): 

\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}[]
 \item $A_1=[0,3[$
 \item $A_2=\{0\}\cup]1,2]$
 \item $A_3=\Nset \cap[0,\frac13]$
 \item $A_4=\{3x-2, x \in ]0, 1]\}$
 \item $A_{5} = \{-2+3 n, n \in \Nset\}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}[]
 \item $A_6 = \{1 + (-1)^n, n \in \Nset\}$
 \item $A_7=\{1-\frac{1}{n}, n\in\Nset^*\}$
 \item $A_{8} = \{1+(-1)^n/n, n \in \Nset^{\star} \}$
 \item $A_9=\{\frac1n+(-1)^n, n\in\Nset,n\geq10\}$
 \item $A_{10}=\{\frac{n-1}{n+1}, n\in\Nset, n\geq 5\}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}


\exo



Soit $f : \Rset \rightarrow \Rset$ la fonction définie par $f(x) = x \cos(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(n \pi)$ pour $n \in \Zset$. 
 \item La fonction est-elle minorée ? Est-elle majorée ?
\end{enumerate}


\exo


\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout entier $n$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.
 \item Montrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
\end{enumerate}


\exo

\begin{enumerate}
 \item Soit $f : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ l'application définie par $f(m,n) = \frac{m}{n}$. Est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
 \item Même question avec $g : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ définie par $g(m,n) = m + \frac{1}{1+n}$.
\end{enumerate}


\exo

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, sans oublier de justifier :
\begin{enumerate}
 \item La somme de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
 \item La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
 \item Le produit de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
 \item Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
 \begin{enumerate}[(i)]
   \item $x=y$.
   \item $ \forall \epsilon >0$, $|x-y| \leq \epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}




\exo[(Inégalité triangulaire)]

\begin{enumerate}
 \item Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\Rset$.
 \item Démontrer cette inégalité.
 \item Montrer que $\forall (x,y)\in\Rset ^2, ||x|-|y||\leq |x-y|.$
\end{enumerate}



\exo

Soient $f$, $g$ deux fonctions à valeurs réelles et définies sur un intervalle $I$ de $\Rset$. Pour chaque $x\in I$, on pose
$M(x)=\max(f(x),g(x))$, et $m(x)=\min(f(x),g(x))$. Montrer que si $f$ et $g$ sont croissantes, alors $M$ et $m$ le sont également.







\exo

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\Rset$ vérifiant:
$$\forall(a,b)\in A\times B, a\leq b.$$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\sup(A)$ et $\inf(B)$ existent.
 \item Montrer que que $\sup(A)\leq\inf(B)$.
 \item Montrer l'équivalence $\sup(A)=\inf(B) \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists x \in A, \exists y \in B, |x-y|<\epsilon$.
 \item Donner un exemple d'ensembles $A$ et $B$ satisfaisant 3.
\end{enumerate}


\exo


 Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\Rset$. On note : 
$$A+B=\{c\in\Rset\,|\,\exists(a,b)\in A\times B, c=a+b\}.$$
Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure dans $\Rset$ et que 
$\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.




\exo[(Point fixe)]

Soit $f : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ une fonction. On veut prouver que si $f$ est croissante, alors elle a un point fixe, c'est à dire qu'il existe un $a$ dans $[0, 1]$ qui vérifie $f(a)=a$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $A = \{x \in [0,1], f(x) \leq x \}$. Montrer que $A$ a une borne inférieure $a \geq 0$.
 \item Montrer que $f(a)$ est un minorant de $A$.
 \item En déduire que $f(a) \leq a$ et que $f(a) \in A$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}





\end{document}
