\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.4 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 2}
\end{center}
\bigskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/






\subsection*{Méthodes de démonstration}


\exo

Montrer que pour tout $n \in \Nset^{\star}$ :
\begin{enumerate}
 \item $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$.
 \item La somme des n premiers nombres impairs est égale à $n^2$.
\end{enumerate}


\exo

Que penser de la démonstration suivante:
 
\medskip
% \small 
Pour tout entier $n\geq 2$, on considère la propriété $P_n$ donnée par "$n$ points quelconques du plan sont toujours alignés."
Nous allons la démontrer par récurrence.

On initialise au rang 2: $P_2$ est vraie car 2 points du plan sont toujours alignés.

Supposons maintenant que pour un certain entier naturel $n$, $P_n$ soit vérifiée pour un certain entier naturel $n\geq 2$. Supposons que $A_1, A_2,\ldots,A_{n+1}$ sont $n+1$ points quelconques du plan. Par hypothèse de récurrence, $A_1,A_2,\ldots,A_n$ sont alignés sur une droite que l'on notera $D$. De même $A_2,\ldots,A_{n+1}$ sont alignés sur une droite $D'$. Comme $D$ et $D'$ contiennent toutes les deux les points $A_2,\ldots,A_n$, elles sont confondues. Par conséquent, les points $A_1, A_2,\ldots ,A_{n+1}$ sont alignés. On a prouvé que $P_{n+1}$ est vérifiée.

Conclusion: la propriété $P_n$ est vraie au rang initial et héréditaire. Elle est donc vraie à tout rang. 
% \normalsize



\exo[(Preuve par contre-exemple)]

L'affirmation suivante est-elle vraie ? Justifiez.

\emph{``Pour tous nombres réels $a,b,c$, si $a \leq b$, alors $ac \leq bc$.''}


\exo[(Preuve par contraposée)]

On considère sept réels $x_1, \dots, x_7$ tels que 
$\sum_{i=1}^7 x_i = 0$.
% \begin{align*}
%  \sum_{i=1}^7 x_i = 0
% \end{align*}
Montrer qu'il existe un $i$ tel que $x_i \leq 0$.


\exo

Montrer que pour tout entier $n$, si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

\exo[(Preuve par l'absurde)]

Démontrer par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel. 

\exo

\begin{enumerate}
 \item Soit $f : \Nset \rightarrow \Nset$ une application strictement croissante. Montrer que $f(n) \geq n$ pour tout entier $n \in \Nset$.
 \item  Que dire lorsque $f$ est surjective ?
\end{enumerate}






\exo[(Preuve par analyse et synthèse)]

Soit $f$ une fonction de $\Rset$ dans $\Rset$. On dit que $f$ est \emph{paire} si, pour tout nombre $x$, on a $f(-x)=f(x)$. On dit que $f$ est \emph{impaire} si, pour tout nombre $x$, on a $f(-x)=-f(x)$. On voudrait montrer le théorème suivant :

\textbf{Théorème.} \emph{Toute fonction $f:\Rset \to \Rset$ s'écrit de façon unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.}

\begin{enumerate}
\item En supposant que $f = f_{p}+f_{i}$ où $f_p$ est une fonction paire et $f_{i}$ une fonction impaire, trouver une expression de $f_{p}$ et de $f_{i}$ à partir de $f$.
Quel morceau du théorème a-t-on démontré ?

\item Que reste-t-il à faire ? Finir la preuve du théorème.
 
\end{enumerate}


\subsection*{Ensembles et applications}


\exo


Associer à chaque élément de la liste A un élément de la liste B.

\medskip
Liste A:
\begin{enumerate}[(a)]
\item ensemble des entiers naturels impairs
\item ensemble des entiers relatifs pairs
\item $\{-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$
\item $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
\item ensemble des nombres rationnels
\end{enumerate}

\smallskip
Liste B:
\begin{enumerate}[(1)]
\item $\{x\in\Nset \,|\, x^2\leq 101\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,x^2\leq 122\text{ et }x\in\Zset\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,\exists k\in\Nset,x=2k+1\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,\exists p\in\Zset, x=2p\}$
\item $\{x\in\Rset\,|\,x^2-2x+1\geq 0\text{ et }x\in\Qset\}$ 
\end{enumerate}

\exo

Soit $E$ un ensemble de cardinal fini $n\geq 1$. Montrer par récurrence que $\mathcal{P}(E)$, l'ensemble des parties 
de $E$ est de cardinal $2^n$. 


% \vspace{1cm}


\exo

Soient $A$, $B$, et $C$ des sous-ensembles d'un ensemble $E$. Montrer les formules suivantes :

\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
\item $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
\item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3} 
\item $[A \cap B = A] \Leftrightarrow [A \subset B] $.
\item $[A \cup B = B] \Leftrightarrow [A \subset B] $.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
% Remarque : Souvent, pour démontrer que deux ensembles $F$ et $G$ sont égaux, on montre que $F \subset G$ et que $G \subset F$. 
% \begin{enumerate}
%  \item $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.
%  \item $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$.
%  \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
%  \item $A \cap B = A \Leftrightarrow A \subset B $.
%  \item $A \cup B = B \Leftrightarrow A \subset B $.
% \end{enumerate}


\exo

Soit $g : \Rset \to \Rset$ l'application définie par $g(x) = x^2$. Donner l'image par $g$ de $\{0\}$ et de $[0 , 2]$. Donner l'image réciproque par $g$ de $\{1\}$, de $\{-1\}$.

\exo[(Vrai ou Faux)]

On considère la fonction $f:x\mapsto x^4$. Les phrases sont-elles vraies ou fausses ? 


\begin{minipage}[t]{.5\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $f:\Rset \to \Qset$ est une application surjective.
\item $f:\Rset_+ \to \Rset$ est une application surjective.
\item $f:\Rset \to \Rset$ est une application injective.
\item $f:\Rset_+\to \Rset$ est une application injective.
\item $f:[-1,1]\to[0,1]$ est bijective.
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{5} 
\item $f:[0,2]\to[0,2]$ est bijective.
\item $f:[0,1]\to[0,2]$ est bijective.
\item $f:[0,1]\to[0,1]$ est bijective.
\item $f$ s'annule au plus deux fois sur $\Rset$.
\item $f$ s'annule au moins deux fois sur $\Rset$.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}

% \begin{enumerate}
%  \item $f:\Rset \to \Qset$ est une application surjective.
%  \item $f:\Rset_+ \to \Rset$ est une application surjective.
%  \item $f:\Rset \to \Rset$ est une application injective
% \item $f:\Rset_+\to \Rset$ est une application injective
% \item $f:[-1,1]\to[0,1]$ est bijective
% \item $f:[0,2]\to[0,2]$ est bijective
% \item $f:[0,1]\to[0,2]$ est bijective
% \item $f:[0,1]\to[0,1]$ est bijective
% \item $f$ s'annule au plus deux fois sur $\Rset$
% \item $f$ s'annule au moins deux fois sur $\Rset$
% \end{enumerate}


\exo

\begin{enumerate}
 \item Soit $f : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ l'application définie par $f(m,n) = \frac{m}{n}$. Est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
 \item Même question avec $g : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ définie par $g(m,n) = m + \frac{1}{1+n}$.
\end{enumerate}


\exo

Remarque : souvent, pour démontrer que deux ensembles $F$ et $G$ sont égaux, on montre que $F \subset G$ et que $G \subset F$. Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f : E \rightarrow F$ une application. Démontrer les propriétés suivantes :

% \begin{minipage}[t]{.44\linewidth}
% \begin{flushleft}
% \begin{enumerate}
% \item $\forall A,B \subset E, A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B)$.
% \item $\forall A,B \subset E, f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.
% \item $\forall A,B \subset E, f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
% \end{enumerate}
% \end{flushleft}
% \end{minipage}
% \hfill
% \begin{minipage}[t]{.54\linewidth}
% \begin{flushright}
% \begin{enumerate}
% \setcounter{enumi}{3} 
% \item $\forall A,B \subset F, f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.
% \item $\forall A \subset E, A \subset f^{-1}(f(A))$.
% \item $\forall A \subset F,  f(f^{-1}(A)) \subset A$.
% \end{enumerate}
% \end{flushright}
% \end{minipage}
\begin{enumerate}
 \item $\forall A,B \subset E, A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset E, f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset E, f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$.
 \item $\forall A,B \subset F, f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$.
 \item $\forall A \subset E, A \subset f^{-1}(f(A))$.
 \item $\forall A \subset F,  f(f^{-1}(A)) \subset A$.
\end{enumerate}



\exo

Soient $f : A \rightarrow B$ et $g : B \rightarrow C$ deux applications. Démontrer les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $g \circ f$ est injective $\Rightarrow$ $f$ est injective.
 \item $g \circ f$ est surjective $\Rightarrow$ $g$ est surjective.
\end{enumerate}
Montrer par des exemples que les réciproques sont fausses.


\exo

Soit $f : X \rightarrow Y$ une application. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
 \item $f$ est injective.
 \item $\forall A, B \subset X$, $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$.
 \item $\forall A, B \subset X$, $A \cap B = \emptyset \Rightarrow f(A) \cap f(B) = \emptyset$.
\end{enumerate}





\end{document}
