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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD3}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 3 - Nombre réels, approximation, propriétés topologiques}
\end{center}
\bigskip



\exo[(Premiers exemples)]


\begin{enumerate}
 \item Donner la partie entière de $2.1$.
 \item Donner une approximation à $10^{-3}$ près de $1/3$.
 \item Donner une approximation à $10^{-2}$ près de $1/7$.
 \item Donner la partie entière de $-\sqrt{2}$.
 \item Rappeler la définition de voisinage. Donner un voisinage de $15$.
 \item Donner une approximation de $\pi$ par défaut à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}



\exo

Que peut-on dire d'un nombre réel $x$ tel que :
\begin{enumerate}
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad x \leq 900 \epsilon$
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad - 4 \epsilon \leq x < \epsilon$
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad - 4 + \epsilon \leq x < \epsilon$
\end{enumerate}




\exo

\begin{enumerate}
 \item Rappeler la définition de la partie entière d'un réel.
 \item A-t-on toujours $E(x+y) = E(x) + E(y)$ pour $x$ et $y$ réels ? Donner un encadrement de $E(x+y) - E(x) - E(y)$.
 \item Etudier les fonctions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=E(x+1)-E(x)$
  \item $g(x)=E(x+1/2)-E(x)$
  \item $h(x)=E(x) + E(\frac{1}{x})$ définie pour $x>0$
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}


\exo

\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'un intervalle borné ayant un minimum mais pas de maximum est de la forme $[a,b[$.
 \item $[a,b[$ est-il un intervalle ouvert ?
\end{enumerate}


\vspace{2cm}

\exo[(Approximation décimale)]


\begin{enumerate}
 \item Soit $x$ un réel. Montrer que pour tout entier $k \geq 0$ il existe un entier relatif $a_k$ tel que
 \begin{align*}
  a_k 10^{-k} \leq x < a_k 10^{-k} +  10^{-k}.
 \end{align*}
 \item Montrer que la suite définie pour $k \geq 0$ par $x_k = 10^{-k}a_k$ converge vers $x$.
 \item Montrer que l'ensemble $\Dset$ des nombres décimaux est dense dans $\Rset$.
 \item $\Qset$ est-il dense dans $\Rset$ ? Justifier.
\end{enumerate}



\exo[(Densité de $\Rset \setminus \Qset$ dans $\Rset$)]


\begin{enumerate}
 \item Soient $a$ et $b$ deux rationnels tels que $a<b$. Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que
 \begin{align*}
  a < a+ \frac{\sqrt{2}}{n} < b.
 \end{align*}
 \item Montrer que $\Rset \setminus \Qset$ est dense dans $\Rset$.
\end{enumerate}



\exo


Soient $E = \{ x \in \Rset \textrm{ tel que } \exists p, q \in \Zset, x = p + q \sqrt 2 \}$ et 
$u= \sqrt 2 -  1.$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que pour tout entier $n \in \Zset$ et pour tout $v \in E$, on a $nv \in E.$
\item
Montrer que $\forall n \in \Nset$, $u^n \in E.$
\item
Montrer que $0 < u < 1/2$ et en d\'eduire que $\forall n \in \Nset^{\star},$ $0 < u^n < 1/n.$
\item
Soient $a$ et $b$ des nombres r\'eels tels que $ a < b.$ Montrer qu'il existe un entier $n \ge 1$
tel que $0< u^n < b-a.$ En d\'eduire qu'il existe un élément de $E$ appartenant \`a 
l'intervalle $] \, a,b[.$ 
\item Montrer à l'aide de la question précedente que $\Rset \setminus \Qset$ est dense dans $\Rset$.
% \item Montrer que pour tout entier $n \geq 1,$ il existe $p_n$, $q_n \in \Zset$
% tels que $u^n = p_n + q_n \sqrt 2$ avec $p_n q_n < 0$. En conclure que dans tout intervalle
% $] \, a, b[$ avec $a<b$, il existe une infinit\'e d'irrationnels.
\end{enumerate}






\end{document}
