\documentclass[a4paper,10pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage{amsfonts}  
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{enumerate}
\usepackage{amsthm}
%\usepackage{bbold}
\usepackage{caption}
\usepackage{marvosym}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{geometry}

\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 3}
\end{center}
\medskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/





\subsection*{Nombres réels}

\vspace{-0.3cm}

\exo

Etant donné un ensemble $A$, $A \subset \Rset$, écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes:

\begin{minipage}[t]{.6\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item 10 est un majorant et 5 est un minorant de $A$.
\item A est majoré.
\item A n'est pas minoré.
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.3\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3} 
\item A est borné.
\item A n'est pas borné.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}



% \begin{enumerate}
% \item 10 est un majorant et 5 est un minorant de $A$.
% \item A est majoré.
% \item A n'est pas minoré.
% \item A est borné.
% \item A n'est pas borné.
% \end{enumerate}


\exo


Dire pour chacun des sous-ensembles suivants de $\Rset$ s'il est majoré, minoré. Déterminer (lorsqu'elle existe) leur borne
supérieure (resp. inférieure): 

\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}[]
 \item $A_1=[0,3[$
 \item $A_2=\{0\}\cup]1,2]$
 \item $A_3=\Nset \cap[0,\frac13]$
 \item $A_4=\{3x-2, x \in ]0, 1]\}$
 \item $A_{5} = \{-2+3 n, n \in \Nset\}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}[]
 \item $A_6 = \{1 + (-1)^n, n \in \Nset\}$
 \item $A_7=\{1-\frac{1}{n}, n\in\Nset^*\}$
 \item $A_{8} = \{1+(-1)^n/n, n \in \Nset^{\star} \}$
 \item $A_9=\{\frac1n+(-1)^n, n\in\Nset,n\geq10\}$
 \item $A_{10}=\{\frac{n-1}{n+1}, n\in\Nset, n\geq 5\}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}


\exo



Soit $f : \Rset \rightarrow \Rset$ la fonction définie par $f(x) = x \cos(x)$.
\begin{enumerate}
 \item Calculer $f(n \pi)$ pour $n \in \Zset$. 
 \item La fonction est-elle minorée ? Est-elle majorée ?
\end{enumerate}


\exo

Soient $f$, $g$ deux fonctions à valeurs réelles et définies sur un intervalle $I$ de $\Rset$. Pour chaque $x\in I$, on pose
$M(x)=\max(f(x),g(x))$, et $m(x)=\min(f(x),g(x))$. Montrer que si $f$ et $g$ sont croissantes, alors $M$ et $m$ le sont également.


\exo

Soient $A$ et $B$ deux parties non vides de $\Rset$ vérifiant:
$\forall(a,b)\in A\times B, a\leq b.$
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\sup(A)$ et $\inf(B)$ existent.
 \item Montrer que que $\sup(A)\leq\inf(B)$.
 \item Montrer l'équivalence $\sup(A)=\inf(B) \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists x \in A, \exists y \in B, |x-y|<\epsilon$.
 \item Donner un exemple d'ensembles $A$ et $B$ satisfaisant 3.
\end{enumerate}


\exo


 Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\Rset$. On note : 
$$A+B=\{c\in\Rset\,|\,\exists(a,b)\in A\times B, c=a+b\}.$$
Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure dans $\Rset$ et que 
$\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.




% \exo
% 
% \begin{enumerate}
%  \item Soit $f : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ l'application définie par $f(m,n) = \frac{m}{n}$. Est-elle injective ? Surjective ? Bijective ?
%  \item Même question avec $g : \Zset \times \Nset^{\star} \rightarrow \Qset$ définie par $g(m,n) = m + \frac{1}{1+n}$.
% \end{enumerate}


\exo

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, sans oublier de justifier :
\begin{enumerate}
 \item La somme de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
 \item La racine carré d'un nombre irrationnel positif est un nombre irrationnel.
 \item Le produit de deux nombres irrationnels positifs distincts est un nombre irrationnel.
 \item Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
 \begin{enumerate}[(i)]
   \item $x=y$.
   \item $ \forall \epsilon >0$, $|x-y| \leq \epsilon$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}




\exo[(Inégalité triangulaire)]

\begin{enumerate}
 \item Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\Rset$.
 \item Démontrer cette inégalité.
 \item Montrer que $\forall (x,y)\in\Rset ^2, ||x|-|y||\leq |x-y|.$
\end{enumerate}














\exo[(Point fixe)]

Soit $f : [0, 1] \rightarrow [0, 1]$ une fonction. On veut prouver que si $f$ est croissante, alors elle a un point fixe, c'est à dire qu'il existe un $a$ dans $[0, 1]$ qui vérifie $f(a)=a$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $A = \{x \in [0,1], f(x) \leq x \}$. Montrer que $A$ a une borne inférieure $a \geq 0$.
 \item Montrer que $f(a)$ est un minorant de $A$.
 \item En déduire que $f(a) \leq a$ et que $f(a) \in A$.
 \item Conclure.
\end{enumerate}



\exo[(Approximation)]


\begin{enumerate}
 \item Donner la partie entière de $2.1$.
 \item Donner une approximation à $10^{-3}$ près de $1/3$.
 \item Donner une approximation à $10^{-2}$ près de $1/7$.
 \item Donner la partie entière de $-\sqrt{2}$.
 \item Rappeler la définition de voisinage. Donner un voisinage de $15$.
 \item Donner une approximation de $\pi$ par défaut à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}


% \vspace{2.9cm}


\exo

Que peut-on dire d'un nombre réel $x$ tel que :
\begin{enumerate}
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad x \leq 900 \epsilon$
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad - 4 \epsilon \leq x < \epsilon$
 \item $\forall \epsilon > 0, \quad - 4 + \epsilon \leq x < \epsilon$
\end{enumerate}




\exo

\begin{enumerate}
 \item Rappeler la définition de la partie entière d'un réel.
 \item A-t-on toujours $E(x+y) = E(x) + E(y)$ pour $x$ et $y$ réels ? Donner un encadrement de $E(x+y) - E(x) - E(y)$.
 \item Etudier les fonctions suivantes :
 \begin{enumerate}
  \item $f(x)=E(x+1)-E(x)$
  \item $g(x)=E(x+1/2)-E(x)$
  \item $h(x)=E(x) + E(\frac{1}{x})$ définie pour $x>0$
 \end{enumerate} 
\end{enumerate}


\exo

\begin{enumerate}
 \item Montrer qu'un intervalle borné ayant un minimum mais pas de maximum est de la forme $[a,b[$.
 \item $[a,b[$ est-il un intervalle ouvert ?
\end{enumerate}



\exo[(Approximation décimale)]


\begin{enumerate}
 \item Soit $x$ un réel. Montrer que pour tout entier $k \geq 0$ il existe un entier relatif $a_k$ tel que
 \begin{align*}
  a_k 10^{-k} \leq x < a_k 10^{-k} +  10^{-k}.
 \end{align*}
 \item Montrer que la suite définie pour $k \geq 0$ par $x_k = 10^{-k}a_k$ converge vers $x$.
 \item Montrer que l'ensemble $\Dset$ des nombres décimaux est dense dans $\Rset$.
 \item $\Qset$ est-il dense dans $\Rset$ ? Justifier.
\end{enumerate}



\exo[(Densité de $\Rset \setminus \Qset$ dans $\Rset$)]


\begin{enumerate}
 \item Soient $a$ et $b$ deux rationnels tels que $a<b$. Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que
 \begin{align*}
  a < a+ \frac{\sqrt{2}}{n} < b.
 \end{align*}
 \item Montrer que $\Rset \setminus \Qset$ est dense dans $\Rset$.
\end{enumerate}



\exo


Soient $E = \{ x \in \Rset \textrm{ tel que } \exists p, q \in \Zset, x = p + q \sqrt 2 \}$ et 
$u= \sqrt 2 -  1.$
\begin{enumerate}
\item
Montrer que pour tout entier $n \in \Zset$ et pour tout $v \in E$, on a $nv \in E.$
\item
Montrer que $\forall n \in \Nset$, $u^n \in E.$
\item
Montrer que $0 < u < 1/2$ et en d\'eduire que $\forall n \in \Nset^{\star},$ $0 < u^n < 1/n.$
\item
Soient $a$ et $b$ des nombres r\'eels tels que $ a < b.$ Montrer qu'il existe un entier $n \ge 1$
tel que $0< u^n < b-a.$ En d\'eduire qu'il existe un élément de $E$ appartenant \`a 
l'intervalle $] \, a,b[.$ 
\item Montrer à l'aide de la question précedente que $\Rset \setminus \Qset$ est dense dans $\Rset$.
% \item Montrer que pour tout entier $n \geq 1,$ il existe $p_n$, $q_n \in \Zset$
% tels que $u^n = p_n + q_n \sqrt 2$ avec $p_n q_n < 0$. En conclure que dans tout intervalle
% $] \, a, b[$ avec $a<b$, il existe une infinit\'e d'irrationnels.
\end{enumerate}





\end{document}
