\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD3}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 4 - Suites (partie 1)}
\end{center}
\bigskip

% \vspace{0.5 cm}
% \textbf{Rappels}
% \vspace{0.1 cm}
% 
% \begin{enumerate}
%  \item Convergence des suites : Par définition, une suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$ si :\\
% Pour tout réel strictement positif, il existe un rang $n_0$ a partir duquel, $|u_n - l|$ est plus petit que ce réel. \\
% Avec les quantificateurs:
% \begin{equation}
%  \forall \varepsilon >0, \; \exists \, n_0 \, \text{t.q.} \, \forall n\geq n_0, \;|u_n - l| < \varepsilon
% \end{equation}
% \item Divergence vers $+\infty$ :
% C’est un cas trés particulier de divergence ! Une suite qui diverge peut a priori être bornée...(exemple ?).\\
% Par définition, une suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si pour tout réel $A > 0$, il existe un rang à
% partir duquel, $u_n$ est supérieur a A.\\
% Avec les quantificateurs :
% \begin{equation}
%  \forall A \in \mathbb{R},\, \exists \, n_0\, \text{t.q.} \, \forall n\geq n_0,\; u_n>A
% \end{equation}
% \end{enumerate}

\exo[(Question de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite numérique. Écrire avec des quantificateurs les assertions suivantes :
\begin{enumerate}
 \item $(u_n)_{n \in \Nset}$ converge vers $l \in \Rset$.
 \item $(u_n)_{n \in \Nset}$ diverge vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
\item Montrer qu'une suite convergente est bornée.
\item Donner un exemple de suite bornée et qui ne converge pas.
\end{enumerate}

% Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite numérique. Écrire avec des quantificateurs les assertions suivantes :
% \begin{enumerate}
%  \item $(u_n)_{n \in \Nset}$ converge vers $l \in \Rset$.
%  \item $(u_n)_{n \in \Nset}$ diverge vers $+ \infty$.
% \end{enumerate}


\exo


Déterminer la monotonie des suites dont le terme général est :

\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
 \item $a_n = \frac{n!}{n^n}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} 
 \item $b_n = \frac{1}{n^2 + (-1)^n}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
 \item $c_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}




\exo


Montrer en revenant à la définition quantifiée de la limite d'une suite que les suites dont le terme général est le suivant sont convergentes (et déterminer leur limite):
\begin{enumerate}
 \item $u_n = \frac{1}{n}$
 \item $v_n = \frac{n}{n+1}$
 \item $w_n = \frac{1}{n+(-1)^n \sqrt{n}}$
\end{enumerate}

\exo

Etudier les suites dont le terme général est :

\begin{minipage}[t]{.32\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
 \item $a_n = (-1)^n$
 \item $b_n = \frac{3n-3}{2n+3}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{.32\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
 \item $c_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$
 \item $d_n = \left(\frac{2}{3} \right)^n$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{.32\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4} 
 \item $e_n = \frac{E(nx)}{n}$, $x \in \Rset$
 \item $f_{n+1} = r f_n$ avec $r \in \Rset^+$ et $f_0=1$ 
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}

\exo

On définit la suite $(S_n)_{n \in \Nset}$ par
\begin{align*}
 S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}.
\end{align*}
En considérant $S_{2n}-S_n$, montrer que $(S_n)$ diverge vers $+ \infty$.


\vspace{3cm}


\exo[(vrai ou faux)]

On donnera une démonstration ou un contre-exemple à chacune des assertions ci-dessous.
\begin{enumerate}
\item Si une suite est positive et non majorée, elle admet pour limite $+ \infty.$
\item Une suite à termes positifs qui tend vers 0 est décroissante à partir d'un certain rang.
\item Une suite qui diverge vers $+\infty$ est croissante à partir d'un certain rang.
\item Si une suite a une limite strictement positive, tous ses termes sont positifs à partir
d'un certain rang.
\item Une suite non bornée est divergente.
\item Soient deux suites $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$
vérifiant $(\forall n \in \Nset, \ u_n \le v_n)$ et $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (u_n - v_n) = 0.$ Alors
les deux suites convergent et ont même limite.
\item Si $(u_n)_{n \in \Nset}$ est une suite croissante à termes réels telle que
$(u_{n+1} - u_n)_{n \in \Nset}$ converge vers 0, alors $(u_n)_{n \in \Nset}$ converge.
\end{enumerate}


\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite réelle telle que les suites $(u_{2n})_{n \in \Nset}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \Nset}$ convergent vers le même réel $l$. Montrer que $(u_n)$ converge vers $l$.

\exo

Montrer qu'une suite convergente à valeurs dans $\Nset$ est stationnaire (c'est à dire constante à partir d'un certain rang).

\exo

Montrer qu'une suite réelle divergeant vers $+\infty$ admet un plus petit élément.


\exo

Montrer qu'une suite monotone dont une sous-suite converge est convergente.





\exo


Soit $f$ une application bornée de $\Rset$ dans $\Rset$. Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose
\begin{align*}
 M_n = \sup\left\{f(x), x \in [-1/n,1/n] \right\} \quad \textrm{ et } \quad m_n = \inf \left\{f(x), x \in [-1/n,1/n] \right\} .
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Prouver que ces deux suites sont monotones.
 \item Sont-elles convergentes ?
 \item Donner un exemple où elles n'ont pas même limite.
\end{enumerate}


\vspace{4cm}

\exo[(Théorème de Césaro)]


On suppose que $(u_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est une suite réelle convergente de limite $l \in \Rset$. On va étudier la suite $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ définie par
\begin{align*}
 v_n = \frac{u_1+ \dots + u_n}{n}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Supposons $l=0$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $0$.
 \item Plaçons-nous dans un cas plus général où $l \in \Rset$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $l$. Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Césaro.
 \item La réciproque de ce théorème est-elle vraie ? Justifier.
\end{enumerate}

% Montrer que la suite $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ définie par
% \begin{align*}
%  v_n = \frac{u_1+ \dots + u_n}{n}
% \end{align*}
% converge vers $l$.



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0 =1$ et $u_{n+1} = u_n+\frac{1}{u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
 \item Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+ \infty$.
\end{enumerate}



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est majorée et croissante.
 \item Calculer la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}





\exo

On définit deux suites $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ par

\noindent 
$a_1=1$, $b_1= 2$, $b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$ et $a_n b_n = 2$ pour tout entier $n$
supérieur à 2.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que les suites r\'eelles ainsi d\'efinies sont rationnelles.
\item
Calculer les premiers termes de chacune d'entre elles ainsi que la diff\'erence $a_n - b_n.$
\item
Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est \`a termes positifs, croissante et major\'ee
par $\sqrt 2$ et que $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est d\'ecroissante et minorée par $\sqrt 2.$
\item
 En déduire 
que $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ convergent vers $\sqrt 2.$
\end{enumerate}













\end{document}
