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\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD3}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 5 - Suites (partie 2 - suites adjacentes, de Cauchy)}
\end{center}
\bigskip

\exo[(Question de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite. Écrire avec des quantificateurs que $(u_n)_{n \in \Nset}$ est de Cauchy.
 \item Énoncer le critère de Cauchy.
\end{enumerate}



\exo

Construire une suite $u$ de terme général $u_n = v_n \cdot w_n$ convergente et telle que l'une
des deux suites $(v_n)_{n \in \Nset}$ ou $(w_n)_{n \in \Nset}$ soit divergente. Même
problème avec $u_n = v_n + w_n.$

\exo

On définit deux suites réelles $(u_n)_{n\in \Nset}$ et $(v_n)_{n\in \Nset}$ par
\begin{align*}
 u_0 \leq v_0, \quad \textrm{ et } \quad  u_{n+1} = \frac{3 u_n + v_n}{4}, \quad v_{n+1} = \frac{3 v_n + u_n}{4}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n \in \Nset$, $u_n \leq u_{n+1} \leq v_{n+1} \leq v_n$.
 \item Montrer que $u_n-v_n$ converge géométriquement vers $0$.
 \item Montrer la convergence des deux suites.
\end{enumerate}


\exo[(Moyenne arithmetico-géométrique)]

Soient $a$ et $b$ dans $\Rset^+$. On définit les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ à valeurs dans $\Rset^+$ par
\begin{align*}
 a_0=a, \quad b_0=b, \quad \textrm{et} \quad a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n\in \Nset^{\star}$, $a_n \leq b_n$, puis $a_n \leq a_{n+1}$ et $b_{n+1} \leq b_n$.
 \item Montrer que pour tout $n \in \Nset$, $|b_{n+1}-a_{n+1}| \leq |b_n - a_n|/2$.
 \item Que dire des suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ ?
\end{enumerate}


\exo[(Point fixe)]

Soit $f$ une fonction continue de $\Rset$ dans $\Rset$ telle qu'il existe $k \in ]0,1[$, tel que :
\begin{align*}
 \forall (x,y) \in \Rset^2, \quad |f(x)-f(y)| \leq k |x-y|.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la suite récurrente définie par
 \begin{align*}
  u_0 \in \Rset, \quad u_{n+1} = f(u_n),
 \end{align*}
 est une suite de Cauchy et converge vers l'unique point fixe de $f$.
 \item Soit $f(x)=\sqrt{2-x}$ une fonction définie pour $x \in ]0,2[$. Montrer que $f$ est dérivable, puis que $f'$ est décroissante sur $ ]0,2[$. Que vaut $f'(7/4)$ ? Donner un encadrement de $f'$ sur $]0,\sqrt{2}]$.
 \item Déduire de la question précédente qu'il existe $k<1$ tel que pour tous $x,y \in ]0,\sqrt{2}]$, 
 \begin{align*}
  |f(x)-f(y)| \leq k |x-y|.
 \end{align*}
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite définie par 
  \begin{align*}
  u_0 \in ]0, \sqrt{2}], \quad u_{n+1} = \sqrt{2-u_n}.
 \end{align*}
 Montrer que $(u_n)_{n \in \Nset}$ est bien définie, et que pour tout $n \in \Nset$, $u_n \in ]0, \sqrt{2}]$, puis étudier la convergence de cette suite.
\end{enumerate}




\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite bornée à valeurs réelles. On pose
\begin{align*}
 & \limsup_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \sup \{u_k, k\geq n\} ,\\
 & \liminf_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \inf \{u_k, k\geq n\}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $\limsup_{n \to \infty} u_n$ et $\liminf_{n \to \infty} u_n$ sont toujours définis.
 \item Montrer que si $(v_n)_{n \in \Nset}$ est une autre suite bornée, alors
 \begin{align*}
  \limsup_{n \to \infty} (u_n+v_n) \leq \limsup_{n \to \infty} u_n + \limsup_{n \to \infty} v_n.
 \end{align*}
\item Montrer que si $\limsup_{n \to \infty} u_n=\liminf_{n \to \infty} u_n$, alors $(u_n)_{n \in \Nset}$ converge.
\end{enumerate}




 
 \exo
 
 Soient $(u_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ deux suites définies par :
 \begin{align*}
  u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad \textrm{et} v_n = u_n + \frac{1}{n n!}.
 \end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
 \item montrer que pour tout $n \in \Nset^{\star}$,
 \begin{align*}
  n! u_n< n! e < n! u_n + \frac{1}{n}.
 \end{align*}
\item En déduire (par l'absurde) que $e$ est un nombre irrationnel.
\end{enumerate}

\exo

Soit $(u_n )$ la suite définie par la donnée $u_0 = 1$ et :
\begin{equation*}
 \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1}=1+\frac{(n+2)u_n}{2(n+1)}.
\end{equation*}
 \begin{enumerate}
  \item Caculer $u_1,\,u_2,\,u_3,\,u_4,\,u_5$.
  \item Montrer par récurrence que :
\begin{equation*}
  \forall n \geq 2,\; u_n \geq 2. 
\end{equation*}
 \item  Montrer que la suite décroit pour $n \geq 5$.
 \item  En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
 \end{enumerate}
 

\end{document}
