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\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.3 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 5 - suites partie 2}
\end{center}
\medskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/





\subsection*{Suites adjacentes, suites de Cauchy}

\vspace{-0.3cm}

\exo[(Question de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Énoncer et démontrer le théorème des suites adjacentes.
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite. Écrire avec des quantificateurs que $(u_n)_{n \in \Nset}$ est de Cauchy.
 \item Énoncer le critère de Cauchy.
\end{enumerate}



% \exo
% 
% Construire une suite $u$ de terme général $u_n = v_n \cdot w_n$ convergente et telle que l'une
% des deux suites $(v_n)_{n \in \Nset}$ ou $(w_n)_{n \in \Nset}$ soit divergente. Même
% problème avec $u_n = v_n + w_n.$

\exo

On définit deux suites réelles $(u_n)_{n\in \Nset}$ et $(v_n)_{n\in \Nset}$ par
\begin{align*}
 u_0 \leq v_0, \quad \textrm{ et } \quad  u_{n+1} = \frac{3 u_n + v_n}{4}, \quad v_{n+1} = \frac{3 v_n + u_n}{4}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n \in \Nset$, $u_n \leq u_{n+1} \leq v_{n+1} \leq v_n$.
 \item Montrer que $u_n-v_n$ converge géométriquement vers $0$.
 \item Montrer la convergence des deux suites.
\end{enumerate}


\exo[(Moyenne arithmetico-géométrique)]

Soient $a$ et $b$ dans $\Rset^+$. On définit les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ à valeurs dans $\Rset^+$ par
\begin{align*}
 a_0=a, \quad b_0=b, \quad \textrm{et} \quad a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}, \quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que pour tout $n\in \Nset^{\star}$, $a_n \leq b_n$, puis $a_n \leq a_{n+1}$ et $b_{n+1} \leq b_n$.
 \item Montrer que pour tout $n \in \Nset$, $|b_{n+1}-a_{n+1}| \leq |b_n - a_n|/2$.
 \item Que dire des suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ ?
\end{enumerate}


\exo[(Point fixe)]

Soit $f$ une fonction continue de $\Rset$ dans $\Rset$ telle qu'il existe $k \in ]0,1[$, tel que :
\begin{align*}
 \forall (x,y) \in \Rset^2, \quad |f(x)-f(y)| \leq k |x-y|.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la suite récurrente définie par
 \begin{align*}
  u_0 \in \Rset, \quad u_{n+1} = f(u_n),
 \end{align*}
 est une suite de Cauchy et converge vers l'unique point fixe de $f$.
 \item Soit $f(x)=\sqrt{2-x}$ une fonction définie pour $x \in ]0,2[$. Montrer que $f$ est dérivable, puis que $f'$ est décroissante sur $ ]0,2[$. Que vaut $f'(7/4)$ ? Donner un encadrement de $f'$ sur $]0,\sqrt{2}]$.
 \item Déduire de la question précédente qu'il existe $k<1$ tel que pour tous $x,y \in ]0,\sqrt{2}]$, 
 \begin{align*}
  |f(x)-f(y)| \leq k |x-y|.
 \end{align*}
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite définie par 
  \begin{align*}
  u_0 \in ]0, \sqrt{2}], \quad u_{n+1} = \sqrt{2-u_n}.
 \end{align*}
 Montrer que $(u_n)_{n \in \Nset}$ est bien définie, et que pour tout $n \in \Nset$, $u_n \in ]0, \sqrt{2}]$, puis étudier la convergence de cette suite.
\end{enumerate}









 
 \exo
 
 Soient $(u_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ deux suites définies par :
 \begin{align*}
  u_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \quad \textrm{et} v_n = u_n + \frac{1}{n n!}.
 \end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(v_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
 \item montrer que pour tout $n \in \Nset^{\star}$,
 \begin{align*}
  n! u_n< n! e < n! u_n + \frac{1}{n}.
 \end{align*}
\item En déduire (par l'absurde) que $e$ est un nombre irrationnel.
\end{enumerate}


\exo


On pose
\begin{align*}
 u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} \quad \textrm{et} \quad v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n+1}.
\end{align*}
Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ sont adjacentes.


\exo

On définit les suites réelles $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ par $u_0=1$, $v_0=2$, et pour tout $n \in \Nset$ :
\begin{align*}
 u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n+v_n} \quad \textrm{ et } \quad v_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n+v_n).
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \Nset$, $u_n$ et $v_n$ existent,  et $u_n < v_n$.
 \item Démontrer que la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ est croissante, et que la suite $(v_n)_{n \in \Nset}$ est décroissante.
 \item Vérifier que pour tout $n \in \Nset$, $0 < v_{n+1} - u_{n+1} < \frac{1}{2} (v_n - u_n)$. En déduire une majoration de $v_n - u_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire que les suites $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ sont adjacentes.
 \item Que vaut $u_{n+1} v_{n+1}$ ? En déduire la limite commune de $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$.
 \item Déterminer un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de $l$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}


\subsection*{Suites récurrentes}

 \exo[(Questions de cours)]

\begin{enumerate}
%  \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite. Écrire avec des quantificateurs que $(u_n)$ est de Cauchy. Rappeler ce qu'est le critère de Cauchy pour les suites numériques et le prouver.
 \item Soit $f$ une fonction décroissante et $I$ un intervalle de $\Rset$ tels que $f(I) \subset I$. Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Que peut-on dire des suites $(u_{2n})_{n \in \Nset}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \Nset}$ ? 
 \item Le démontrer.
\end{enumerate}


\exo

Soit $f : ]0, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[$ la fonction définie par $f(x) = 1 + \frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \Nset}$ vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_0 = 1$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le sens de variation de $f$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on déduire pour la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ ?
 \item Soient $(v_n)_{n \in \Nset}$ et $(w_n)_{n \in \Nset}$ les suites définies par $v_n = u_{2n}$ et $w_n = u_{2n+1}$. Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. (On pourra considérer la fonction $g = f o f$.)
 \item Démontrer que la suite $(w_n)$ est décroissante.
 \item En déduire que les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes, et déterminer leur limite respective.
 \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ ?
\end{enumerate}



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0 =1$ et $u_{n+1} = u_n+\frac{1}{u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
 \item Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+ \infty$.
\end{enumerate}



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée et calculer sa limite.
\end{enumerate}


% 
% \exo[(Fibonacci)]
% 
% On cherche à résoudre le problème suivant :
% 
% \noindent Un homme met un couple de lapins venant de naître dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?
% 
% \begin{enumerate}
%  \item On note $u_n$ le nombre de lapins présents dans la cage au bout du nième mois. On suppose que le temps de gestation est nul et qu'un couple de lapins né au mois $n$ fera ses premiers bébés au mois $n+2$, au premier jour de son troisième mois d'existence. Donner la valeur de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
%  \item Pour tout $n \geq 1$, que vaut $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ et de $u_{n+1}$ ?
%  \item Montrer que pour tout $n \geq 0$,
%  \begin{align*}
%   u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n -\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n.
%  \end{align*}
% 
%  \item Combien y aura-t-il de lapins au bout d'un an ?
% \end{enumerate}








\exo 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x) = x - x^2$, et on définit la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.
\begin{enumerate}
 \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0,1[$ et préciser son maximum sur cet intervalle. En déduire que la suite $(u_n)$ est bien définie.
 \item Montrer par récurrence que pour tout $n \geq 0$, $0<u_n<\frac{1}{1+n}$.
 \item Soit $(v_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $v_n = n u_n$ pour tout $n \geq 0$. Calculer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $(v_n)$ est croissante.
 \item Montrer que pour tout $n \geq 0$, $0 \leq v_n \leq \frac{n}{n+1}$. Qu'en déduisez-vous sur la suite $(v_n)$ ?
\end{enumerate}




\exo 


Étudier la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \Nset$, $u_{n+1} = u_n^2+1$.







\subsection*{En plus}

\exo

On définit deux suites $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ par

\noindent 
$a_1=1$, $b_1= 2$, $b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$ et $a_n b_n = 2$ pour tout entier $n$
supérieur à 2.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que les suites r\'eelles ainsi d\'efinies sont rationnelles.
\item
Calculer les premiers termes de chacune d'entre elles ainsi que la diff\'erence $a_n - b_n.$
\item
Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est \`a termes positifs, croissante et major\'ee
par $\sqrt 2$ et que $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est d\'ecroissante et minorée par $\sqrt 2.$
\item
 En déduire 
que $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ convergent vers $\sqrt 2.$
\end{enumerate}




\exo

Pur $n > 2$, on définit la fonction $g_n$ de $\Rset$ dans $\Rset$ par $g_n(x) = x^n + x^{n-1} + x^2 + x - 1$.
\begin{enumerate}
 \item Étudier les variations de $g_n$ sur $\Rset^+$, et montrer que l’équation $g_n (x) = 0$ admet une unique solution dans $\Rset^+$ .
 \item On désigne par $u_n$ cette racine. Montrer que la suite $(u_n)_{n\in \Nset^{\star}}$ est croissante et convergente.
 \item On note $l$ la limite de $(u_n)_{n\in \Nset^{\star}}$. Montrer que $l \leq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
 \item Que vaut $l$ ? Justifier.
\end{enumerate}

\end{document}
