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\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD3}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 6 - Suites (partie 3 - suites récurrentes)}
\end{center}
\bigskip


\exo[(Questions de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite. Écrire avec des quantificateurs que $(u_n)$ est de Cauchy. Rappeler ce qu'est le critère de Cauchy pour les suites numériques et le prouver.
 \item Soit $f$ une fonction décroissante et $I$ un intervalle de $\Rset$ tels que $f(I) \subset I$. Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite définie par $u_0 \in I$ et $u_{n+1} = f(u_n)$. Que peut-on dire des suites $(u_{2n})_{n \in \Nset}$ et $(u_{2n+1})_{n \in \Nset}$ ? Le démontrer.
\end{enumerate}


\exo

Soit $f : ]0, +\infty[ \rightarrow ]0, +\infty[$ la fonction définie par $f(x) = 1 + \frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \Nset}$ vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_0 = 1$.
\begin{enumerate}
 \item Déterminer le sens de variation de $f$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on déduire pour la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ ?
 \item Soient $(v_n)_{n \in \Nset}$ et $(w_n)_{n \in \Nset}$ les suites définies par $v_n = u_{2n}$ et $w_n = u_{2n+1}$. Montrer que la suite $(v_n)$ est croissante. (On pourra considérer la fonction $g = f o f$.)
 \item Démontrer que la suite $(w_n)$ est décroissante.
 \item En déduire que les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes, et déterminer leur limite respective.
 \item Quelle est la nature de la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ ?
\end{enumerate}



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0 =1$ et $u_{n+1} = u_n+\frac{1}{u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est croissante.
 \item Montrer que $(u_n)$ diverge vers $+ \infty$.
\end{enumerate}



\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = \sqrt{1+u_n}$ pour tout $n \geq 0$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que cette suite est bien définie.
 \item Montrer que $(u_n)$ est croissante et majorée et calculer sa limite.
\end{enumerate}



\exo[(Fibonacci)]

On cherche à résoudre le problème suivant :

\noindent Un homme met un couple de lapins venant de naître dans un lieu isolé de tous les côtés par un mur. Combien de couples obtient-on en un an si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du troisième mois de son existence ?

\begin{enumerate}
 \item On note $u_n$ le nombre de lapins présents dans la cage au bout du nième mois. On suppose que le temps de gestation est nul et qu'un couple de lapins né au mois $n$ fera ses premiers bébés au mois $n+2$, au premier jour de son troisième mois d'existence. Donner la valeur de $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
 \item Pour tout $n \geq 1$, que vaut $u_{n+2}$ en fonction de $u_n$ et de $u_{n+1}$ ?
 \item Montrer que pour tout $n \geq 0$,
 \begin{align*}
  u_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n -\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n.
 \end{align*}

 \item Combien y aura-t-il de lapins au bout d'un an ?
\end{enumerate}




\exo

On définit la fonction $g_n$ de $\Rset$ dans $\Rset$ par $g_n(x) = x^n + x^{n-1} + x^2 + x - 1$.
\begin{enumerate}
 \item Étudier les variations de $g_n$ , et montrer que l’équation $g_n (x) = 0$ admet une unique solution dans $\Rset^+$ .
 \item On désigne par $u_n$ cette racine. Étudier la suite $(u_n)_{n\in \Nset^{\star}}$.
 \item On note $l$ la limite de $(u_n)_{n\in \Nset^{\star}}$. Montrer que $l \leq \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$.
 \item Que vaut $l$ ? Justifier.
\end{enumerate}



\exo 

On considère la fonction $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(x) = x - x^2$, et on définit la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ par $u_0 \in ]0,1[$ et $u_{n+1} = f(u_n)$.
\begin{enumerate}
 \item Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $]0,1[$ et préciser son maximum sur cet intervalle. En déduire que la suite $(u_n)$ est bien définie.
 \item Montrer par récurrence que pour tout $n \geq 0$, $0<u_n<\frac{1}{1+n}$.
 \item Soit $(v_n)_{n \in \Nset}$ la suite définie par $v_n = n u_n$ pour tout $n \geq 0$. Calculer $v_{n+1}-v_n$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $(v_n)$ est croissante.
 \item Montrer que pour tout $n \geq 0$, $0 \leq v_n \leq \frac{n}{n+1}$. Qu'en déduisez-vous sur la suite $(v_n)$ ?
\end{enumerate}

\exo

Soit $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite  de réels strictement positifs. On suppose que
\begin{align*}
 \frac{u_{n+1}}{u_n} \underset{n \to \infty}{\rightarrow} l.
\end{align*}
\begin{enumerate}
 \item Montrer que si $l<1$, alors $u_n \to 0$.
 \item Montrer que si $l>1$, alors $u_n \to \infty$.
 \item Montrer que dans le cas $l=1$, on ne peut pas conclure.
\end{enumerate}



\end{document}
