\documentclass[a4paper,10pt]{article}

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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.3 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 6 - fonctions}
\end{center}
\medskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/





\subsection*{Limites, continuité en un point}

\exo[(Questions de cours)]
\begin{enumerate}
 \item Soient $x_0 \in \Rset$, $b \in \Rset$ tel que $b>x_0$, et $f$ une fonction définie sur $]x_0,b[$. Écrire avec des quantificateurs que $f$ admet une limite à droite valant $l$ en $x_0$.
 \item  Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a$ un élément de $I$.
\begin{enumerate}
 \item Écrire avec des quantificateurs que $f$ est continue en $a$.
 \item Écrire à l'aide de suites que $f$ est continue en $a$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exo

Soit $f$ une fonction définie sur $I$, intervalle de $\Rset$ et $a \in I$.
Traduire le fait que $f$ est discontinue en $a$~:
\begin{enumerate}
 \item en terme de voisinages
 \item avec les suites
\end{enumerate}


\exo

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de ${\Rset}$.

\begin{enumerate}
 \item Montrer que si $f$ est continue en $a \in I$ alors $f$ est bornée dans un voisinage de $a$.
 \item Montrer que si $f$ est continue en $a$ et si $f(a) \ne 0$ alors $f$ garde un signe constant dans un voisinage de $a$.
\end{enumerate}

\exo


Soient $f$ et $g$ deux applications définies sur un intervalle $I$ et continues en un point $x_0\in I$. 
\begin{enumerate}
 \item On suppose que $f(x_0)>g(x_0)$. Montrer qu'il existe un voisinage de $x_0$ sur lequel $f$ est strictement plus grande que $g$. 
 \item L'énoncé est-il encore vrai si l'on remplace les inégalités strictes par des inégalités larges ? Justifier.
\end{enumerate}



\exo


Etudier les limites suivantes:


\begin{minipage}[t]{.50\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
 \item $\frac{x-1}{x^2-1}$ en 1.
 \item $\frac{\sqrt{x} -2}{x^2-5x+4}$ en 4.
 \item $x E\left(\frac{1}{x} \right)$ en 0.
\item $\frac{x^{3}+x^{2}+5}{5x^{3}-x^{2}+2}$ en $+\infty$
% \item $\frac{sin(ax)}{x}$ en $0$, avec $a$ un réel non nul fixé.
% \item $\frac{tan(5x)}{sinx}$ en $0$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.40\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4} 
\item $\frac{sin(x^{2})}{x}$ en $\infty$ et en $0$.
\item $\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}$ en $0$.
% \item $\frac{\ln(x)}{x}$ en $+\infty$.
% \item $x\ln(x)$ en $0$.
\item $\frac{x-\sqrt{x}}{x+\ln(x)}$ en $+\infty$.
\item $\ln(x)\ln(\ln(x))$ en $1$.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}


\exo


Soit $f$ une fonction continue en $0$ telle que: $$\forall x \in \mathbb{R}, f(2x)=f(x).$$
\begin{enumerate}
\item Soit $x \in \Rset$. Montrer que $f(x)=f(\frac{x}{2^{k}})$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.
\item En déduire que $f(x)=f(0)$ pour tout $x$.
\end{enumerate}



\exo[(Équation fontionnelle)]

Soit $f$ une fonction de $\Rset$ dans $\Rset$ vérifiant la relation~:
$$
\forall (x,y) \in \Rset^2, f(x+y) = f(x) + f(y).
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et montrer que $f$ est impaire.
\item Calculer $f$ sur $\Nset$, puis sur $\Zset$ et enfin sur $\Qset$
en fonction de $f(1).$
\item On suppose que $f$ est continue en $0$. Montrer que les seules
solutions de ce problème sont de la forme $f(x) = a x$ où $a \in \Rset$.
\end{enumerate}



\exo

Déterminer l'ensemble des fonctions réelles définies sur  $\mathbb{R}$, continues en $0$ et vérifiant : 
\begin{equation*}
\forall\; x\in\mathbb{R}\quad f(x)+f(2x) = 0
\end{equation*}


\exo

Peut-on prolonger $f: x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ par continuité en 0 ?


\exo

Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur  $\Rset$ ?

\begin{enumerate}
 \item $
\begin{array}{ccccc}
  f& : & \mathbb{R}^{*} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ 
  & & x & \mapsto & \sin x\sin\frac{1}{x} \\ 
\end{array}
$
\item $
\begin{array}{ccccc}
  g& : & \mathbb{R}^{*} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ 
  & & x & \mapsto &\frac{1}{x}\ln(\frac{e^x+e^{-x}}{2})\\ 
\end{array}
$
\item $
\begin{array}{ccccc}
  h& : & \mathbb{R}\backslash\{-1,1\} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ 
  & & x & \mapsto &\frac{1}{1-x} - \frac{2}{(1-x)^2}\\ 
\end{array}
$
\end{enumerate}



\exo

D\'eterminer $a$, $b$ et $c$ pour que les fonctions suivantes soient continues sur $\Rset$~:

\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
 \item $f(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         5 & \hbox{si} & x < -2 \\
                         ax + b & \hbox{si} & -2 \le x < 1 \\
                         \ln x & \hbox{si} & x \ge 1
                       \end{array}
               \right.$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} 
 \item $g(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         (x-1) e^{2/x} & \hbox{si} & x < 0 \\
                         3e^x - c & \hbox{si} & x \ge 0
                       \end{array}
               \right.$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace{2cm}


\subsection*{Continuité}

\exo[(Questions de cours - continuité)]

\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné $[a,b]$, avec $a<b$ et $a,b \in \Rset$. L'ensemble $F=\{f(x), x \in [a,b]\}$ admet-il un maximum ? F admet-il un minimum ?
 \item Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
\end{enumerate}


% \exo[(Preuve du Théorème de valeurs intermédiaires)]
% 
% Soient $a,b \in \Rset$ tels que $a<b$, $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$ telle que $f(a) < f(b)$ et $y \in ]f(a), f(b)[$.
% 
% On définit les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ par $a_0=a$, $b_0=b$ et pour tout $n \in \Nset$ :
%  \begin{itemize}
%   \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) <y$, alors $a_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2}$ et $b_{n+1} = b_n$.
%   \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) >y$, alors $a_{n+1}= a_n$ et $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.
%   \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) =y$, alors $a_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2}$ et  $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.
%  \end{itemize}
%   
%   \bigskip
%   
% \begin{enumerate}
%  \item Montrer que les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ convergent.
%  \item Utiliser la question précédente pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires.
% \end{enumerate}


\exo

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0, +\infty[$, et telle que $f(0) = \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$. Montrer que $f$ admet un maximum.



% \exo
% 
% Soit $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ une fonction $T$ périodique $(T >0)$ et admettant une limite en $+ \infty$. Que dire de $f$ ?


% \exo
% 
% Soit $f$ une fonction de $\Rset^+$ dans $\Rset$ telle que $f([0 1])$ est majoré et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x+1) - f(x) = l$.
% Montrer que
% \begin{align*}
%  \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = l.
% \end{align*}

\exo

Étudier la continuité des fonctions suivantes :



\begin{minipage}[t]{.35\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
 \item $f(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         1 & \hbox{si} & x \in {\Qset} \\
                         0 & \hbox{si} & x \notin {\Qset}
                       \end{array}
               \right.$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.2\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1} 
 \item  $f(x) = {\rm E} (x)$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.4\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
 \item $f(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         1/x & \hbox{si} & x \in {\Rset}^{*} \\
                         36 & \hbox{si} & x=0
                       \end{array}
               \right.$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}



\exo

Soit $f$ une fonction de $[a, b]$ dans $\Rset$, avec $a \in \Rset$, $b \in \Rset$ et $a<b$. 
\begin{enumerate}
 \item On suppose $f$ continue. Montrer que $f$ est strictement monotone si et seulement si $f$ est injective.
  \item On suppose $f$ croissante. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est surjective de $[a,b]$ dans $[f(a),f(b)]$.
\end{enumerate}






\exo

Soit $f$ une fonction continue sur $ [0,1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Soit
$g$ la fonction définie par
$$
g(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         f(2x) & \hbox{si} & x \in [0,1/2] \\
                         f(2x-1) & \hbox{si} & x \in ]1/2,1].
                       \end{array}
               \right.
$$
Montrer que $g$ est définie et continue sur $[0,1]$.





% \exo
% 
% Etudier la continuité de $x \mapsto E(x) + (x - E(x))^2 $.

\exo

Soient $a,b$ des réels avec $a<b$. Soit $f$ une application continue de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrer que $f$ admet au moins un point fixe dans $[a,b]$.




\exo

Un cycliste parcourt 20 km en une heure. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une demi-heure lors duquel il parcourt 
exactement 10 km.

\exo

Soit $D$ une partie dense de $\Rset$.
\begin{enumerate}
\item Soit $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ continue telle que $f(x) = 0$ pour tout $x \in D$. Montrer que $f=0$.
\item Soient $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ et $g : \Rset \longrightarrow \Rset$ deux fonctions continues telle que $f(x) = g(x)$, pour tout $x \in D$. Montrer que $f=g$.
\end{enumerate}


\vspace{1cm}

\exo

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\Rset$ telle que $|f|=|g|$. On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $\Rset$. Montrer que
$f=g$ ou $f=-g$.

\exo

Soit $f$ une fonction réelle, définie sur $\Rset$, continue en 0 et vérifiant
$$\forall (x,y)\in\Rset^2, f(x+y)=f(x)f(y).$$ Montrer que $f$ est continue sur $\Rset$. 

\subsection*{Rappels sur la dérivabilité}


\exo[(Questions de cours - dérivabilité)]

\begin{enumerate}
 \item Soient $g$ une fonction définie sur un intervelle ouvert $I$, et $x_0 \in I$. Rappeler la définition de la dérivabilité de $g$ en $x_0$.
 \item Énoncer le théorème des accroissements finis.
\end{enumerate}




\exo

Soit $f$ une fonction définie sur  $\Rset$ telle que pour tout $(x,y) \in \Rset^2$,
on ait~: 
\\
$| f(x) - f(y) | \leq |x-y|^2.$ Montrer que $f$ est constante.


\exo[(Théorème de Darboux)]

Soit $I$ un intervalle de $\Rset$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\Rset$ dérivable sur $I$.
\begin{enumerate}
\item Soit $(a,b) \in I^2$ tel que $a < b$. On suppose que $f'(a) < 0$ et $f'(b) >0$. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
\item En déduire que $f'(I)$ est un intervalle, i.e $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
% \item Que peut on dire de l'ensemble des fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires par rapport à l'ensemble des fonctions continues. On pensera à la fonction \[ [0, +\infty [  \longrightarrow  \Rset, \; x  \mapsto  \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text {si} \; x \neq 0  \\
%     0 & \text{sinon}.
% \end{cases}. \]
\end{enumerate}

\exo

Soit $f$ une fonction réelle non nulle définie sur $\mathbb{R}_{+}$ dérivable en $1$, telle que $f(xy)=f(x)f(y)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(1)=1$
\item Soit $x_{0}\in \mathbb{R}_{+}^{*}$ et $h\in \mathbb{R}$ telle que $x_{0}+h>0$, démontrer que
\begin{align*}
 f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(x_{0})[f(1+\frac{h}{x_{0}})-f(1)]
\end{align*}
\item Démontrer que $f$ est dérivable en tout point de $R_{+}^{*}$ et que l'on a: $\frac{f'(x)} {f(x)}=\frac {f'(1)} {x}$, pour tout $x>0$. 
% Déterminer $f$.
\end{enumerate}


\exo

Soit $f$ l'application définie sur son ensemble de définition $\mathcal{D}$ par $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x}-1}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$.
 \item Rappeler les développements limités à l'ordre $1$ au voisinge de $0$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x \mapsto \sqrt{1+x}$.
 \item Montrer que $f$ admet une limite en $0$.
 \item Existe-t-il un nombre réel $l$ tel que l'application $g$ définie sur $[0, +\infty[$ par $g(x) = f(x)$ pour $x>0$ et $g(0)=l$ soit continue sur $[0, +\infty[$ ?
\end{enumerate}


\end{document}
