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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD7}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 7 - Révisions et suites}
\end{center}
\bigskip


\exo[(Questions de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Donner la négation de $P \Rightarrow Q$.
 \item Donner une définition quantifiée de la borne inférieure d'une partie $A$ de $\Rset$ minorée et non vide. Donner une définition en français.
\item Soient $(u_n)_{n \in \Nset}$ une suite et $l \in \Rset$. Écrire avec des quantificateurs :
\begin{enumerate}
\item $(u_n)$ converge vers $l$.
\item $(u_n)$ diverge vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
 \item Soit $r \in \Rset$ tel que $0<r<1$. Montrer que la suite $(r^n)_{n \in \Nset}$ converge vers $0$.
\end{enumerate}




\exo

Les ensembles suivants admettent-ils un majorant ? Une borne supérieure ? Un maximum ?
\begin{enumerate}
 \item $A=]0,1]$
 \item $B=]0, 1[$
 \item $C=\{2p+1, p \in \Nset\}$
\end{enumerate}





\exo


 Soient $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\Rset$. On note : 
$$A+B=\{c\in\Rset\,|\,\exists(a,b)\in A\times B, c=a+b\}.$$
Montrer que $A+B$ admet une borne supérieure dans $\Rset$ et que 
$\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$.


\exo


Soient $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ deux suites convergeant respectivement vers $l \in \Rset$ et $l' \in \Rset$ avec $l<l'$. Montrer qu'à partir d'un certain rang, $u_n < v_n$.

\exo


On pose
\begin{align*}
 u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n} \quad \textrm{et} \quad v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}} - 2 \sqrt{n+1}.
\end{align*}
Montrer que les suites $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ sont adjacentes.


\exo


Donner l'expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle $(u_n)_{n \in \Nset}$ définie par :
\begin{enumerate}
 \item $u_0=0$ et pour tout $n \in \Nset$, $u_{n+1} = 2 u_n + 1$.
 \item $u_0=0$ et pour tout $n \in \Nset$, $u_{n+1} = \frac{u_n +1}{2}$.
\end{enumerate}



\exo 


Étudier la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ définie par $u_0=1$ et pour tout $n \in \Nset$, $u_{n+1} = u_n^2+1$.


\exo

On définit les suites réelles $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ par $u_0=1$, $v_0=2$, et pour tout $n \in \Nset$ :
\begin{align*}
 u_{n+1} = \frac{2 u_n v_n}{u_n+v_n} \quad \textrm{ et } \quad v_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n+v_n).
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
 \item Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \Nset$, $u_n$ et $v_n$ existent,  et $u_n < v_n$.
 \item Démontrer que la suite $(u_n)_{n \in \Nset}$ est croissante, et que la suite $(v_n)_{n \in \Nset}$ est décroissante.
 \item Vérifier que pour tout $n \in \Nset$, $0 < v_{n+1} - u_{n+1} < \frac{1}{2} (v_n - u_n)$. En déduire une majoration de $v_n - u_n$ en fonction de $n$.
 \item En déduire que les suites $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$ sont adjacentes.
 \item Que vaut $u_{n+1} v_{n+1}$ ? En déduire la limite commune de $(u_n)_{n \in \Nset}$ et $(v_n)_{n \in \Nset}$.
 \item Déterminer un entier $n_0$ tel que $u_{n_0}$ soit une valeur approchée de $l$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}



\exo

On définit deux suites $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ par

\noindent 
$a_1=1$, $b_1= 2$, $b_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$ et $a_n b_n = 2$ pour tout entier $n$
supérieur à 2.
\begin{enumerate}
\item
Montrer que les suites r\'eelles ainsi d\'efinies sont rationnelles.
\item
Calculer les premiers termes de chacune d'entre elles ainsi que la diff\'erence $a_n - b_n.$
\item
Montrer que la suite $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est \`a termes positifs, croissante et major\'ee
par $\sqrt 2$ et que $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ est d\'ecroissante et minorée par $\sqrt 2.$
\item
 En déduire 
que $(a_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ et $(b_n)_{n \in \Nset^{\star}}$ convergent vers $\sqrt 2.$
\end{enumerate}


\end{document}
