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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\addtolength{\hoffset}{-1cm}
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\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.2 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD1}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 2
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 7 - intégrales}
\end{center}
\medskip

\noindent adresse mail : amandine.schreck@telecom-paristech.fr \\
page web : http://perso.telecom-paristech.fr/$\sim$schreck/





\subsection*{Intégrales de Riemann, primitives}

\exo[(Questions de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Énoncer et démontrer la première formule de la moyenne pour les intégrales.
 \item Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, où $a,b \in \Rset$, et soit $x_0 \in [a,b]$. Montrer que la fonction $F_0$ définie sur $[a,b]$ par
 \begin{align*}
  F_0(x) = \int_{x_0}^x f(t) dt
 \end{align*}
est dérivable sur $]a,b[$ avec $F_0'(x)=f(x)$.
\end{enumerate}


\exo

Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. calculer $\int_a^b E(x) dx$.

\exo

Soit $f$ une fonction réelle continue sur $\mathbb{R}$.\\
On définit $g$ sur $\mathbb{R}$ par : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $g(x) = \int_{0}^{x}tf(t)dt$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
 \item Montrer que $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et calculer sa dérivée.
%  \item Calculer $g$ lorsque :
%  \begin{itemize}
%  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x) = \arctan(x)$. 
%  \item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
%  \end{itemize}
 \item Montrer que si $f$ est une fonction paire alors $g$ est également paire.
\end{enumerate}


\exo

Pour tout entier $n\geq 0$ on pose $$u_n=\int_0^{1} \frac{x^n}{1+x} dx.$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Justifier l'existence de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer que $u_n>0$ pour tout $n$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante et converge vers $0$.
% \item Montrer que pour tout entier $n$ on a $$u_n=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{n+1}\int_0^1\frac{x^{n+1}}{(1+x)^2}$$
% \item Montrer que la suite $(2nu_n)$ converge vers $1$. On dit que $u_n$ est équivalent à $\dfrac{1}{2n}$.
\end{enumerate}


\exo


Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ et $M >0$ tels que
$$f(a) = f(b) = 0,\;\; \forall x \in [a,b], \; |f'(x)| \leq M.$$
Montrer que
$$\left|\int_a^b f(x)dx \right| \leq \frac{M\left(b-a \right)^2}{4}.$$


\exo

Soit $f$  une fonction continue et positive sur $[a,b]$, démontrer que 
$$\int_{a}^{b}f(x)dx=0 \Longleftrightarrow \forall x\in [a,b], f(x)=0$$

\exo

Soit $f$ une fonction contiune sur $[a,b]$ telle que pour toute fonction $g$ continue sur $[a,b]$ on ait
$$\int_a^b f(x)g(x)dx = 0. $$
Montrer que $f$ est nulle sur $[a,b]$.


\exo

Soit $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ une fonction continue telle que $$\int_0^1 f(t)dt=\frac{1}{2}.$$
Montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $f(\alpha)=\alpha$. On pourra introduire la fonction $G(x)=\int_0^x f(t)dt -\dfrac{x^2}{2}$.


\exo

Soit la suite $(u_n)$ définie par
$$u_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n(n+k)}}.$$
Montrer que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.\\
Même chose avec la suite $(v_n)$ définie par
$$v_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}$$


\exo

Trouver l'ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\Rset$ telles que
\begin{align*}
 \left| \int_a^b f(x) dx \right| = \int_a^b |f(x)| dx.
\end{align*}

% \exo
% 
% Soit $f : \Rset \to \Rset$ continue. On définit pour $x \in \Rset$
% \begin{align*}
%  g(x) = \int_0^x f(t) dt.
% \end{align*}
% \begin{enumerate}
%  \item Montrer que $f$ est continue et dérivable sur $\Rset$.
%  \item On définit $h$ par $h(0)=0$ et pour $x \in \Rset^*$,
%  \begin{align*}
%   h(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(t) dt. 
%  \end{align*}
% Montrer que si $f$ est dérivable en $0$, alors $h$ est continue sur $\Rset$ et dérivable sur $\Rset^*$.
% \end{enumerate}


\exo


On pose pour tout entier naturel $n$, $u_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n(x)\ dx$.
\begin{enumerate}
 \item Démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\Nset}$ est décroissante et minorée.
 \item Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n\in\Nset}$ (on pourra, pour tout $\epsilon\in]0,\pi[$, découper l'intégrale en deux en introduisant $\frac{\pi}{2}-\frac{\epsilon}{2}$). 
\end{enumerate}

% \exo
% 
% Soit $f$ une fonction réelle définie et continue sur $[0,1]$.
% \begin{enumerate}
% \item Montrer que si $\int_{0}^{1}f(t) dt = \frac{1}{2}$ alors $f$ admet un point fixe.
% \item Montrer que $\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}\int_{0}^{1}t^nf(t)dt = 0$
% \end{enumerate}

% \exo
% 
% Soit $f:[0,1] \to \Rset$ une fonction continue. Etudier la convergence des suites 
% $$\int_0^1\frac{f(t)}{t+n}dt,\quad \int_0^1\frac{f(t)}{1+nt}dt, \quad \int_0^1t^nf(t)dt.$$

\exo

En les comparant à des intégrales bien choisies, étudier les suites
$$u_n=\sum_{k=1}^n\frac1k\quad\text{et}\quad v_n=\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}.$$

\exo

En utilisant la formule de la moyenne, calculer la limite lorsque $x$ tend vers 0 à droite de $\int_x^{x^2}\frac{e^{-1/t}}{t}dt$. 


% \exo
% 
% Soit $f$ l'application définie pour tout $t\in\Rset$ par $f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}$.
% \begin{itemize}
% \item[(a)] Expliquer pourquoi l'application $G$ qui à tout réel $x$ associe $G(x)=\int_x^{2x}f(t)dt$ est bien définie. 
% \item[(b)] Montrer que l'application $G$ est impaire. 
% \item[(c)] Montrer que pour tout $x>0$, 
% $0\leq G(x)\leq \int_x^{2x}\frac{dt}{t^2}$.
% \item[(d)] Montrer que $G$ tend vers 0 en $+\infty$.
% \item[(e)] On note $F$ la primitive de $f$ nulle en 0. Expliciter $G$ à l'aide de $F$. En déduire que $G$ est dérivable sur $\Rset$, et expliciter $G'$.
% \item[(f)] Montrer qu'il existe une application $D$ strictement positive telle que $G'(x)=\frac{3-12x^4}{D(x)}$ pour tout réel $x$, et en déduire le tableau de variation de $G$ (On ne cherchera pas à calculer la valeur du maximum
% de $G$).
% \end{itemize}

% \exo
% 
% Déterminer les fonctions continues $f$ telles que la fonction
% $ F(x)=\int_{x-1}^{x+1}f(t)dt$ soit constante.




\exo{(Annale)}

Pour tout réel $x>0$ on considère l'intégrale :
\begin{align*}
 I(x) = \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{2x}} \ln(t^2)dt.
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que $I$ est bien définie.
 \item On fixe un réel $x>0$. Donner un majorant et un minorant dépendant de $x$ de la fonction $t \mapsto \ln(t^2)$ sur l'intervalle $[\sqrt{x}, \sqrt{2x}]$.
 \item Quelle est la limite de $\sqrt{x} \ln(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$ ?
 \item Montrer que l'application $I: ]0, +\infty[ \to \Rset$ admet une limite à droite en zéro que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\subsection*{Calcul de primitives}

\exo[(Questions de cours)]

\begin{enumerate}
 \item Énoncer et démontrer le théorème d'intégration par partie.
 \item Énoncer le théorème de changement de variable.
\end{enumerate}


\exo

\begin{enumerate}
 \item Montrer que si $f$ est une fonction continue, de signe constant, et d'intégrale nulle sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle sur $[a,b]$.
 \item Soit $f$ une fonction continue et non identiquement nulle sur $[a,b]$. Montrer que pour tout $n \in \Nset$, si $\int_a^b t^k f(t) dt=0$ pour tout entier $k$ tel que $0 \leq k \leq n$, alors $f$ s'annule en changeant de signe en au moins $n+1$ points.
\end{enumerate}



\exo

% soit on le fait pour des fonctions en escalier, puis pour des fonctions continues en s'approchantpar des fonctions en escalier, mais c'est un peu dur pour des L1
% soit on le fait pour des fonctions C1.


Soit $f$ une fonction de classe $C^1$, démontrer que la suite définie par
$ u_{n} =\int_{a}^{b}f(t)\sin(nt)dt$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $\infty$

\exo

\begin{enumerate}
 \item Soit $x\in\mathbb{R}_{+}^{*}$, montrer que $H(x) = \int_{1}^{x}\frac{3t+1}{t(t+1)^2}dt$ est bien définie.
 \item Montrer qu'il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ que l'on calculera tels que : 
 \[\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{-1,0\} \quad \frac{3x+1}{x(x+1)^2} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{(x+1)^2}\]
 \item Calculer $H(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}_{+}^{*}$ 
 \item Montrer que $H$ admet une limite en $+\infty$ que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\exo{(Calculs d'intégrales)}

Calculer les intégrales suivantes, après avoir justifié leur existence :

\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $\int_0^{\pi} \frac{\sin(t)}{1+\cos^2(t)}dt$
\item $\int_0^1 \frac{1}{t^2+2} dt$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
\item $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} dt$
\item $\int_0^4 \sqrt{t} (t- 2 \sqrt{t}) dt $
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4} 
\item $\int_0^1 \frac{1}{e^t +1}dt$
\item $\int_{0}^{1}\frac{dt}{t^3+1}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}

%\vspace{3cm}

\exo


Calculer les primitives des fonctions suivantes en précisant les intervalles sur lesquels cela est possible :

\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = \tan(x)$
\item $g(x)=\frac{x^2}{x^2+x-2}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
% \item $h(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$
\item $h(x) = (x^2 + x +1) e^x$
\item $k(x)=\frac{x^3-x^2-3x+4}{x^2-2x+1}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{.30\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{4} 
\item  $l(x)=\frac{x+3}{x^2-3x-40}$
\item $m(x)=\frac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}


\exo{(Annale)}

% exo d' annale


L'objectif est de donner une valeur de $$I=\int_{0}^{1/2}\frac{e^{-t}}{1-t}dt.$$
\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence de $I$.
\item Calculer l'int\'egrale $ J=\int_{0}^{1/2}e^{-t}(1+t).$
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $t\neq 1$, $\frac{1}{1-t}=1+t+\frac{t^{2}}{1-t}.$
\item Montrer que pour tout $t\in [0,1/2]$, on a:
$\frac{t^{2}}{\sqrt{e}} \leq \frac{e^{-t}}{1-t}-e^{-t}(1+t)\leq 2 t^{2}.$
\item En d\'eduire un encadrement de $I$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exo{(Annale)}

% exo d'annale (LM115 juin 2012)

Pour tout réel $x \neq 1$, on considère le réels
\begin{align*}
 f(x) = \frac{4 x^2 + 2x + 3}{(x+1)(4x^2+1)}.
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Montrer que $f$ ainsi définie est une application intégrable au sens de Riemann sur $[0,1]$.
 \item Trouver trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x \in [0,1]$,
 \begin{align*}
  f(x) = \frac{a}{x+1} + \frac{bx+c}{4x^2 +1}.
 \end{align*}
 \item Calculer l'intégrale de $f$ entre $0$ et $1$.
\end{enumerate}


\exo{(Annale)}

% exo d'annale (exercice 4 de LM115 mai 2011 - session 1)

On considère la suite $(w_n)$ donnée pour tout entier naturel $n$ par
\begin{align*}
 w_n = \int_0^1 \frac{\ln(1+x^n)}{(1+x)(2-x)} dx.
\end{align*}

\begin{enumerate}
 \item Trouver deux réels $a$ et $b$ tels que
 \begin{align*}
  \forall x \in \Rset \setminus \{-1,2\}, \quad \frac{1}{(1+x)(2-x)} = \frac{a}{1+x} + \frac{b}{2-x}.
 \end{align*}
 \item Calculer $w_0$.
 \item Montrer que la suite $(w_n)$ est décroissante et positive.
 \item Montrer que pour tout $x \in [0,1]$, $\ln(1+x) \leq x$.
 \item Montrer que pour tout $x \in [0,1]$,
 \begin{align*}
  \frac{\ln(1+x^n)}{(1+x)(2-x)} \leq x^n,
 \end{align*}
et en déduire une majoration de $w_n$.
\item Montrer que $(w_n)$ converge et déterminer sa limite.

\end{enumerate}


\exo{(Annale)}

% exo d'annale (exercice 4 de LM115 juin 2010 - session 2-1)

Soit $g : [0,1] \to \Rset$ une application continue.

\begin{enumerate}
 \item Citer un théorème du cours montrant que $g$ est bornée sur $[0,1]$.
 \item Pour tout entier naturel $n$, justifier l'existence de
 \begin{align*}
  I_n = \int_0^1 e^{-nx} g(x) dx.
 \end{align*}
\item Calculer $I_0$ dans le cas particulier où $g(x) = x e^{-x}$.
\item Soit $M$ un majorant de $|g|$ sur $[0,1]$. Montrer que pour tout $n \geq 1$, $|I_n| \leq \frac{M}{n}$.
\item En déduire que $(I_n)$ converge et préciser sa limite.
\item On suppose maintenant que $g$ est dérivable à dérivée continue sur $[0,1]$ et vérifie $g(0)=1$. Soit $J_n$ défini pour $n \geq 1$ par
\begin{align*}
 J_n = n \int_0^1  e^{-nx} g(x) dx.
\end{align*}
À l'aide d'une intégration par partie, montrer que la suite $(J_n)$ est convergente. Préciser sa limite.
\end{enumerate}


\exo


L'objectif est de calculer les intégrales suivantes:
 $$I=\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+2}}, \quad J=\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2}}dx, \quad K=\int_{0}^{1}\sqrt{x^{2}+2}dx$$ 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $[0,1]$ par $f(x)=\ln(x+\sqrt{x^{2}+2})$. Calculer sa dérivée, en déduire $I$.
\item Calcul de $J$ et de $K$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $J+2I=K$.
\item A l'aide d'une intégration par parties portant sur $K$, montrer que $K=\sqrt{3}-J$
\item En déduire les valeurs de $J$ et de $K$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{1cm}

\exo

\begin{enumerate}
\item Démontrer la formule trigonométrique suivante, puis
déterminer une primitive de $\sin^{2}$.
$$\sin^{2}(t)=\frac{1-\cos(2t)}{2}.$$
\item Soit $a>0$, on cherche à calculer $ I=\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}dx$.\\
En effectuant le changement de variable défini par $x=a\cos(t)$ pour $t\in[0,\pi/2]$, montrer que $$I=a^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(t)dt.$$ Justifier bien le changement de variable (attention aux bornes).
\item Déterminer la valeur de $I$.
\end{enumerate}


\exo{(Intégrales de Wallis)}


Pour tout entier $n\geq 0$ on pose $$W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t)dt$$
\begin{enumerate}[1.]
\item Calculer $W_0$, $W_1$, $W_2$ et $W_3$.
\item Soit $n$ un entier. En utilisant une intégration par parties montrer que $$W_{n+2}=(n+1)(W_n-W_{n+2})$$ et exprimer $W_{n+2}$ en fonction de $W_n$.
\item Calculer $W_{2k}$ et $W_{2k+1}$ en fonction de $k\in\mathbb{N}$.
\item Montrer que $(W_n)$ est décroissante et strictement positive.
\item En exploitant l'inégalité $W_{n+1}\leq W_n \leq W_{n-1}$, montrer que $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{W_n}{W_{n+1}}=1$$
\item On pose $u_n=nW_nW_{n+1}$. Montrer par récurrence que pour tout $n$ on a $u_n=\dfrac{n}{n+1}\frac{\pi}{2}$.
\item En conclure un équivalent simple de $(W_n)$.[On appelle équivalent d'une suite $(u_n)$ une suite $(\alpha_n)$ telle que $\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{u_n}{\alpha_n}=1$]
\end{enumerate}

\exo

Calculer les intégrales suivantes à l'aide de l'intégration par parties

\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushleft}
\begin{enumerate}
\item $\int_0^1{\arctan(t) dt}$
\item $\int_0^1{x\cos(x)dx}$
\end{enumerate}
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.45\linewidth}
\begin{flushright}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2} 
\item $\int_1^x {t^n\ln(t)dt}$ où $n \in \Zset \setminus \{-1\}$
% \item $\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\arcsin(x)dx$
% \item $\int_{0}^{1}{(x^2+x+1)e^x dx}$
\item $\int_0^1 \frac{u}{\sqrt{1+u}} du$.
\end{enumerate}
\end{flushright}
\end{minipage}



%\vspace{1cm}


\exo



Calculer, à l'aide d'un ou plusieurs changements variables, les intégrales suivantes:
\begin{enumerate}[1.]
\item $I_1=\int_e^{x}\dfrac{dt}{t\ln^2(t)}$ où $x$ est un réel, $x>e$
\item $I_2=\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\dfrac{t^2}{1-t^3}dt$ (on posera $u=\frac{1}{t}$).
\item $I_3=\int_2^3 \ln(t^{\frac{1}{3}}-1) dt $ (on posera $u=t^{\frac{1}{3}}$).
\item $I_4=\int_1^x \dfrac{dt}{t\sqrt{1+t}}$ où $x$ est un réel, $x>1$ (on posera $u=\sqrt{1+t}$).
\end{enumerate}


% \exo
% 
% Réduire en éléments simples et calculer des primitives des fractions rationnelles suivantes:
% 
% \begin{enumerate}[1.]
% \item $f(x)=\dfrac{x^2}{x^2+x-2}$
% \item $g(x)=\dfrac{x^3-x^2-3x+4}{x^2-2x+1}$
% \item $h(x)=\dfrac{x+3}{x^2-3x-40}$
% \item $k(x)=\dfrac{10x^2+12x+20}{x^3-8}$
% \item $l(x)=\dfrac{1}{x^2+2}$
% \end{enumerate}


% \exo
% 
% Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes:
% 
% \begin{enumerate}[1.]
% \item $\int_0^1 \dfrac{dx}{x^2+2}$
% \item $\int_0^1 \dfrac{3x^2+10x+5}{x^3+3x^2-4}dx$
% \end{enumerate}



% \exo
% 
% Justifier l'existence des intégrales suivantes puis les calculer :\smallskip
% \newline
% $I_{1}=\int\limits_{-1}^{1}(t+1)(t+2)^{2}dt,$\quad $I_{2}=\int\limits_{0}^{4}%
% \sqrt{x}\left( {x-2\sqrt{x}}\right) dx,$\quad $I_{3}=\int%
% \limits_{1}^{2}3^{u}du,$\smallskip \newline $I_{4}=\int\limits_{1}^{4}\dfrac{{1}}{y\sqrt{y}%
% }dy,$ \quad
% $I_{5}=\int\limits_{0}^{1}(2z-1)\exp (z^{2}-z)dz,$\quad $I_{6}=\int%
% \limits_{1}^{2}\dfrac{a{^{2}}}{\sqrt{1+a^{3}}}da,$\quad $I_{7}=\int%
% \limits_{1}^{2}\dfrac{2\sqrt{c}}{2+3c^{3/2}}dc,$\quad
% $I_{8}=\int\limits_{1}^{e}\dfrac{{(\ln b)^{5}}}{{b}}db,$\quad $%
% I_{9}=\int\limits_{0}^{(\ln 2)/2}\dfrac{e^{2t}}{e^{2t}+2}dt,$\quad $%
% I_{10}=\int\limits_{e}^{e^{3}}\dfrac{\ln (3\gamma )}{\gamma }d\gamma ,$\quad
% $I_{11}=\int\limits_{0}^{2}\beta ^{4}\exp (-\beta ^{5})d\beta ,$\quad
% $I_{12}=\int\limits_{1/2}^{3/2}\dfrac{1-\alpha }{(\alpha ^{2}-2\alpha )^{4}}%
% d\alpha ,$\quad $I_{13}=\int\limits_{0}^{2}x^{2}(x^{3}+1)^{3/2}dx,$\quad $%
% I_{14}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{s^{2004}}{(1+s^{2005})^{2006}}ds,$\quad
% $I_{15}=\int\limits_{1}^{4}\dfrac{e^{-\sqrt{\zeta }}}{\sqrt{\zeta }}d\zeta ,$%
% \quad $I_{16}=\int\limits_{-4}^{4}\dfrac{e^{u}-e^{-u}}{e^{u}+e^{-u}}du,$%
% \quad $I_{17}=\int\limits_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{\exp (-3/v^{2})}{v^{3}}dv,\
% I_{18}=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{y^{4}}{\sqrt[3]{1+7y^{5}}}dy$
% 
% \medskip
% 
% Résultats :
% $I_1=34/2,\; I_2= -16/5,\;I_3=6/\ln3,\; I_4 = 1,\;I_5=0,\;I_6=2-\frac23 \sqrt{2},\;I_7=\frac{4}{5}\ln\left(\frac{2+6\sqrt{2}}{5}\right),\;I_8=1/6,\;I_9=1/2\ln(4/3),\;
% I_{10} = 2\ln3 + 4,\;I_{11} = 1/5-1/5e^{-32},\;I_{12} = 0, \; I_{13}= 483/15,\;I_{14} = 1/(2004.2005)(1-1/(2^{2004})),\;I_{15} = 2(e-1)/e^2,\;I_{16} =0,\;I_{17}=1/6e^{-1}-1/6e^{-3},\;I_{18} = 9/70$



% \exo
% 
% Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une ou de plusieurs inté%
% grations par parties :\smallskip \newline
% $A=\int\limits_{-1}^{1}xe^{3x}dx,$\quad $B=\int%
% \limits_{0}^{1}(t^{2}+t)e^{2t}dt,$\quad $C_{n}=\int\limits_{1}^{e}u^{n}\ln
% (u)du,$\quad $D=\int\limits_{\sqrt{e}}^{e}\dfrac{\ln (v)}{v}dv,$\quad
% $E=\int\limits_{1}^{4}\sqrt{3s}\ln s$\thinspace $ds,$\quad $%
% F=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{\ln (1+2t)}{(1+2t)^{3}}dt,$\quad $%
% G=\int\limits_{1}^{e^{2}}(2x^{3}+1)\ln (x)dx,$\quad $H=\int%
% \limits_{0}^{1}y^{4}e^{y}dy,$\quad
% $I=\int\limits_{1}^{e}z^{2}(\ln z)^{3}dz,$\quad $J=\int%
% \limits_{0}^{1}(3x+1)^{3}\ln (3x+1)dx,$\quad $K=\int\limits_{1}^{e}\ln y$%
% \thinspace $dy,$ \quad
% $L=\int\limits_{1}^{2}\ln \left( 1+\dfrac{1}{t}\right) dt,$\quad $%
% M=\int\limits_{1}^{2}(1+2s)\ln \left( 1+\dfrac{1}{s}\right) ds,$\quad $%
% N=\int\limits_{0}^{1/2}(1-2x)\sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}}dx$ 
% 
% \medskip
% 
% Résultats :
% $A=\frac{4}{9}e^{-3} + \frac{2}{9}e^{3},\;B=\frac{e^2}{2},\;C_n=\frac{ne^{n+1} + 1}{(n+1)^2},\;D=3/8,\;E=\frac{16}{\sqrt{3}}\ln4 - \frac{28}{3\sqrt{3}},\; F= \frac{1}{9}-\frac{\ln3}{36},\;G=\frac{7}{8}e^8+e^2+\frac{9}{8},\;H=9e-24,\;I=\frac{4e^3+2}{27},\;J=\frac{64}{3}\ln4 - \frac{85}{16},\;K=1,\;L=3\ln3 - 4\ln2,\;M=6\ln3-8\ln2+1,\;N=\frac{3}{4}\sqrt{3}-1.$

% \exo
% 
% Soit $a\in \mathbb{R}_{+}^{*}.$ Calculer l'intégrale $I(a)={%
% \int\limits_{a}^{1/a}}\dfrac{\ln x}{x}{dx}$ \newline
% a) par intégration par partie\quad b) en posant le changement de variable $%
% x=1/t$
% Résultat : cette intégrale est nulle.

% \exo
% 
% A l'aide de changement de variables indiqués, calculer les intégrales
% suivantes :\smallskip \newline
% $A=\int\limits_{0}^{1}w\sqrt{3w+1}dw\quad (z=3w+1),$\quad $%
% B=\int\limits_{1}^{e}\dfrac{\ln t}{t}dt\quad (x=\ln t),\quad
% C=\int\limits_{0}^{1}\dfrac{dx}{e^{x}+1}\quad (v=e^{x}),$\newline
% \emph{Pour }$E$ \emph{et} $C,$ \emph{utiliser} : $1/[\alpha (\alpha
% -1)]=1/(\alpha -1)-1/\alpha $ et $1/[\alpha (\alpha +1)]=1/\alpha -1/(\alpha
% +1)$\newline
% $D=\int\limits_{1/2}^{1}\dfrac{1}{x(x+1)}\ln \left( {\dfrac{x}{x+1}}\right)
% dx\quad (t=\dfrac{x}{x+1}),$\quad $E=\int\limits_{1}^{2}\dfrac{ds}{s(s^{3}+1)%
% }\quad (\alpha =s^{3}+1),$\newline
% $F=\int\limits_{-1}^{0}\dfrac{u^{3}du}{(u^{2}+1)\sqrt{u^{2}+1}}\quad
% (v=u^{2}+1),$\quad $G=\int\limits_{0}^{3}\dfrac{t.\ln (t^{2}+1)}{t^{2}+1}%
% dt\quad (x=t^{2}+1)$
% 
% \medskip
% 
% Résultats :
% $A = \frac{116}{135},\;B=1/2,\;C=1-\ln(e+1) + \ln 2,\;D=\frac{(\ln2)^2 - (\ln3)^2}{2},\;E=\frac{3\ln4-2\ln3}{3},\;F=2-\frac{3}{2}\sqrt{2},\;G=\frac{(\ln10)^2}{4}$

% \exo
% 
% Calculer les intégrales suivantes :\smallskip
% \newline
% $\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{t^3+1},$\quad$\int\limits_{0}^{1}\frac{x}{(x+1)^2}dx,$\quad$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{1+ix}dx,$\quad$\int\limits_{0}^{1/2}\frac{x^2+3}{(x^2+1)(x-1)^2}dx$.


% \exo
% 
% 
% Calculer les primitives suivantes. On précisera quel(s) intervalle(s) cela est possible.\\
% $\int\frac{dx}{x^2-4x+2},$\quad$\int\frac{x^3-2}{x^3-x^2}dx,$\quad$\int\frac{\cos(x)}{\cos(2x)}dx,$\quad$\int\frac{\tan(x)}{1+\sin^3(x)}dx,$\quad$\int\sqrt{x^2+1}dx,$\quad
% $\int\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}dx$ On pourra faire un CDV $u = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$,\quad $\int ch x \sin(2x)dx,$\quad$\int \ln(1+x + x^2)dx,$\quad$\int \frac{e^{x}+1}{e^{2x}+1}dx$




\end{document}
