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\def\Rset{\mathbb{R}}
\def\Nset{\mathbb{N}}
\def\Zset{\mathbb{Z}}
\def\Qset{\mathbb{Q}}
\def\Dset{\mathbb{D}}

\newcounter{exo}

\newcommand{\exo}[1][]{\vspace{0.5 cm}
\stepcounter{exo}
\textbf{Exercice \arabic{exo} {#1}}
\vspace{0.1 cm}}

%opening
\title{LM115 - TD7}
\author{Amandine Schreck}

\begin{document}

 
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushleft}
Université Pierre et Marie Curie\\
LM115
\end{flushleft}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{.46\linewidth}
\begin{flushright}
Année 2012-2013\\
Semestre 1
\end{flushright}
\end{minipage}

\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\Large{\textbf{Analyse 2 - Suites et intégrales}\\Travaux Dirigés 9 - Fonctions (Continuité, Rappels sur la dérivabilité)}
\end{center}
\bigskip


\exo[(Questions de cours - continuité)]

\begin{enumerate}
 \item Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné $[a,b]$, avec $a<b$ et $a,b \in \Rset$. L'ensemble $F=\{f(x), x \in [a,b]\}$ admet-il un maximum ? F admet-il un minimum ?
 \item Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires.
\end{enumerate}


\exo[(Preuve du Théorème de valeurs intermédiaires)]

Soient $a,b \in \Rset$ tels que $a<b$, $f$ une fonction définie et continue sur $[a,b]$ telle que $f(a) < f(b)$ et $y \in ]f(a), f(b)[$.

On définit les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ par $a_0=a$, $b_0=b$ et pour tout $n \in \Nset$ :
 \begin{itemize}
  \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) <y$, alors $a_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2}$ et $b_{n+1} = b_n$.
  \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) >y$, alors $a_{n+1}= a_n$ et $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.
  \item[$\bullet$] si $f \left(\frac{a_n + b_n}{2} \right) =y$, alors $a_{n+1}= \frac{a_n + b_n}{2}$ et  $b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}$.
 \end{itemize}
  
  \bigskip
  
\begin{enumerate}
 \item Montrer que les suites $(a_n)_{n \in \Nset}$ et $(b_n)_{n \in \Nset}$ convergent.
 \item Utiliser la question précédente pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires.
\end{enumerate}


\exo

Soit $f$ une fonction définie et continue sur $[0, +\infty[$, et telle que $f(0) = \lim_{x \to \infty} f(x) = 0$. Montrer que $f$ admet un maximum.



\exo

Soit $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ une fonction $T$ périodique $(T >0)$ et admettant une limite en $+ \infty$. Que dire de $f$ ?


% \exo
% 
% Soit $f$ une fonction de $\Rset^+$ dans $\Rset$ telle que $f([0 1])$ est majoré et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x+1) - f(x) = l$.
% Montrer que
% \begin{align*}
%  \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = l.
% \end{align*}


\exo[(Équation fontionnelle)]

Soit $f$ une fonction de $\Rset$ dans $\Rset$ vérifiant la relation~:
$$
\forall (x,y) \in \Rset^2, f(x+y) = f(x) + f(y).
$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$ et montrer que $f$ est impaire.
\item Calculer $f$ sur $\Nset$, puis sur $\Zset$ et enfin sur $\Qset$
en fonction de $f(1).$
\item On suppose que $f$ est continue en $0$. Montrer que les seules
solutions de ce problème sont de la forme $f(x) = a x$ où $a \in \Rset$.
\end{enumerate}


\exo

Déterminer l'ensemble des fonctions réelles définies sur  $\mathbb{R}$, continues en $0$ et vérifiant : 
\begin{equation*}
\forall\; x\in\mathbb{R}\quad f(x)+f(2x) = 0
\end{equation*}

\exo

Soit $f$ une fonction de $[a, b]$ dans $\Rset$, avec $a \in \Rset$, $b \in \Rset$ et $a<b$. 
\begin{enumerate}
 \item On suppose $f$ continue. Montrer que $f$ est strictement monotone si et seulement si $f$ est injective.
  \item On suppose $f$ croissante. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est surjective de $[a,b]$ dans $[f(a),f(b)]$.
\end{enumerate}






\exo

Soit $f$ une fonction continue sur $ [0,1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Soit
$g$ la fonction définie par
$$
g(x) = \left \{ \begin{array}{rcl}
                         f(2x) & \hbox{si} & x \in [0,1/2] \\
                         f(2x-1) & \hbox{si} & x \in ]1/2,1].
                       \end{array}
               \right.
$$
Montrer que $g$ est définie et continue sur $[0,1]$.









\exo

Soit $D$ une partie dense de $\Rset$.
\begin{enumerate}
\item Soit $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ continue telle que $f(x) = 0$ pour tout $x \in D$. Montrer que $f=0$.
\item Soient $f : \Rset \longrightarrow \Rset$ et $g : \Rset \longrightarrow \Rset$ deux fonctions continues telle que $f(x) = g(x)$, pour tout $x \in D$. Montrer que $f=g$.
\end{enumerate}


\exo

Etudier la continuité de $x \mapsto E(x) + (x - E(x))^2 $.



\exo

Un cycliste parcourt 20 km en une heure. Montrer qu'il existe un intervalle de temps d'une demi-heure lors duquel il parcourt 
exactement 10 km.

\exo

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\Rset$ telle que $|f|=|g|$. On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $\Rset$. Montrer que
$f=g$ ou $f=-g$.


\exo[(Questions de cours - dérivabilité)]

\begin{enumerate}
 \item Soient $g$ une fonction définie sur un intervelle ouvert $I$, et $x_0 \in I$. Rappeler la définition de la dérivabilité de $g$ en $x_0$.
 \item Énoncer le théorème des accroissements finis.
\end{enumerate}




\exo

Soit $f$ une fonction définie sur  $\Rset$ telle que pour tout $(x,y) \in \Rset^2$,
on ait~: 
\\
$| f(x) - f(y) | \leq |x-y|^2.$ Montrer que $f$ est constante.


\exo[(Théorème de Darboux)]

Soit $I$ un intervalle de $\Rset$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\Rset$ dérivable sur $I$.
\begin{enumerate}
\item Soit $(a,b) \in I^2$ tel que $a < b$. On suppose que $f'(a) < 0$ et $f'(b) >0$. Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
\item En déduire que $f'(I)$ est un intervalle, i.e $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
% \item Que peut on dire de l'ensemble des fonctions vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires par rapport à l'ensemble des fonctions continues. On pensera à la fonction \[ [0, +\infty [  \longrightarrow  \Rset, \; x  \mapsto  \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}) & \text {si} \; x \neq 0  \\
%     0 & \text{sinon}.
% \end{cases}. \]
\end{enumerate}

\exo

Soit $f$ une fonction réelle non nulle définie sur $\mathbb{R}_{+}$ dérivable en $1$, telle que $f(xy)=f(x)f(y)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(1)=1$
\item Soit $x_{0}\in \mathbb{R}_{+}^{*}$ et $h\in \mathbb{R}$ telle que $x_{0}+h>0$, démontrer que
\begin{align*}
 f(x_{0}+h)-f(x_{0})=f(x_{0})[f(1+\frac{h}{x_{0}})-f(1)]
\end{align*}
\item Démontrer que $f$ est dérivable en tout point de $R_{+}^{*}$ et que l'on a: $\frac{f'(x)} {f(x)}=\frac {f'(1)} {x}$, pour tout $x>0$. 
% Déterminer $f$.
\end{enumerate}


\exo

Soit $f$ l'application définie sur son ensemble de définition $\mathcal{D}$ par $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{\sqrt{1+x}-1}$.

\begin{enumerate}
 \item Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}$ de $f$.
 \item Rappeler les développements limités à l'ordre $1$ au voisinge de $0$ de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x \mapsto \sqrt{1+x}$.
 \item Montrer que $f$ admet une limite en $0$.
 \item Existe-t-il un nombre réel $l$ tel que l'application $g$ définie sur $[0, +\infty[$ par $g(x) = f(x)$ pour $x>0$ et $g(0)=l$ soit continue sur $[0, +\infty[$ ?
\end{enumerate}



\end{document}
